Positive edge consensus of multiagent systems on directed graphs
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摘要: 现有针对多智能体系统的正连边一致性问题的研究,主要集中在无向图或强连通的有向图上。将其扩展到包含生成树的有向网络,由于包含生成树的有向网络的拉普拉斯矩阵可能为复数,分析较为困难。利用正系统理论和图论给出连边系统在包含生成树的有向网络下实现正一致性的充要条件。随后对结果进一步优化,通过改进拉普拉斯矩阵特征值的界,得到只涉及节点网络边数量的充分条件。求解Riccati不等式并提出一种半正定规划算法获得该解,最后通过数值仿真验证所得结果的有效性。Abstract: Most of the existing literature on the problem of positive edge consensus of multi-agent systems has mainly focused on undirected graphs or strongly connected directed graphs. To extend it to the directed networks containing spanning trees, since the Laplacian matrix of a directed network containing spanning trees may be complex, its analysis may become very difficult. Using positive system theory and graph theory, the necessary and sufficient conditions for edge system to achieve positive consensus under a directed network containing spanning trees were given. The results were further optimized by improving the bounds on the eigenvalues of the Laplace matrix, sufficient conditions involving only the number of edge number of the nodal network were obtained. Riccati inequality was solved and a semidefinite programming algorithm was developed to obtain the solution. Finally, the validity of the obtained results was verified by numerical simulation.
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Key words:
- multi-agent systems /
- directed spanning tree /
- positive edge consensus
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现代科技的高速发展促进了智能化时代的到来,多智能体系统(multi-agent systems)在电力系统、无人机器人和智能交通系统等领域广泛应用,也使其成为备受瞩目的研究领域。在多智能体系统中,智能体(agents)通过通信和协作完成指定任务称为多智能体协同控制。近年来,人们对多智能体系统的协同控制产生了极大兴趣[1]。网络系统用于完成指定任务的协同控制通常包括集群(flocking)[2]、编队(formation)[3]和一致性(consensus)[4]。Yan等[5]研究了具有未知输入的分布式双边编队控制。Li等[6]在此基础上考虑事件触发,研究了在未知外部扰动下的双边编队控制。Jiang等[7]研究了多智能体系统异构的情况,并设计了基于事件触发的分布式的双边编队控制器,仅使用相对输出信息来估计领导者的状态并形成所需的对抗编队形状。
一致性问题是实现多智能体系统高效的协同控制的关键。具有正约束的多智能体系统的一致性称为正一致性(positive consensus),是近来一致性研究领域的新挑战。Valcher等[8]研究了单输入单输出系统的正一致性,导出充要条件,随后又得到多输入多输出情况[9]下的充分条件。Wang等[10]研究在无向图下的正连边一致性问题,找到了只涉及节点网络边数的代数连通度下界,导出仅依赖于边数的充分条件,并由此构造分布式算法。Liu等[11]对结果进行优化,给出了拉普拉斯矩阵的最小特征值和度矩阵的改进上界,获得了更精确的解。在实践中,无向网络往往只占少部分,如交通流网络、网络的流行病传播等,都是通过有向拓扑建模的。针对这一情况,Su等[12]研究了有向强连通网络下的正连边一致,给出了分布式算法。随后通过输出反馈协议研究了正连边一致性,给出两种基于观测器的正连边一致性协议[13]。Qian等[14]在此基础上提出具有更大自由度的基于观测器的正连边一致性协议,其中包含了Luenberger观测器作为特例。
本研究对包含生成树的有向网络下的多智能体系统的正连边一致性问题(positive edge consensus)进行了研究,利用Riccati设计方法提出实现正连边一致性的控制器设计条件。设计了一种半正定规划算法,并通过一组数值仿真,验证提出控制协议的有效性。
1. 预备知识和问题描述
1.1 图论
多智能体系统的拓扑结构可以用它的图来很好地描述,如果一个图的所有边都从一个点指向另一个点,那么它被称为有向图,而无向图可以看作是有向图的特殊情况。本研究对有向通信拓扑图下的多智能体系统进行研究。对于一个包含
N 个节点和m 条边的多智能体系统可以用有向节点图Gn={V,E} 来表示。其中:V={1,2,⋯,N} 为节点网络中点的集合;E⊂V×V 为节点网络中边的集合。并且,对于任意的节点s,l∈V ,当且仅当节点s 可以接收节点l 的信息,则称存在一条边(s,l)∈E 。假设图Gn 包含一棵有向生成树,则至少存在一个根节点s∈V ,使得存在从s 到其他任意节点l 的路径。定义图Gn 的邻接矩阵Ad={asl}∈RN×N ,RN×N 为N×N 的实数矩阵,如果(l,s)∈E ,则asl=1 ,否则asl=0 。同时假设图Gn 不包含自闭环,所以ass=0 。节点图的度矩阵D=diag{d1,d2,⋯dn}∈RN×N ,其中ds=∑Nl=1,l≠sasl 。节点图的拉普拉斯矩阵L=D−Ad={lsl}∈RN×N ,其中lsl={∑Nl=1asls=l−asls≠l (1) 引理1[12] 如果多智能体系统的通信拓扑可用包含生成树的有向图
Gn 来表示,那么其拉普拉斯矩阵L 的特征值λi(i=1,2,⋯,N )一般为复数,并可将其排序为0=Re(λ1(L))⩽Re(λ2(L))⩽⋯⩽Re(λn(L)) 式中:
Re(λi) 为特征值λi 的实部。与有向节点图
Gn 对应的表示边之间相互作用的有向线图˜Ge 可以按照如下步骤构造:在有向节点图Gn 中,边可以用节点对(s,l) 来表示,其中s,l∈{1,2,⋯,N} ,并且s 可以接收到l 的信息,将节点对视为线图新的节点,如果节点对(s,l) 和节点对(k,s) 共用相同的节点s ,那么在线图中(s,l) 和(k,s) 之间将存在一条有向边。图1为有向节点图与线图之间的变换。与有向节点图
Gn 对应的有向线图˜Ge 具有m 个节点。˜V={1,2,⋯,m}和 ˜E={(i,j)|i,j=1,2,⋯,m} 分别为线图˜Ge 的点集合和边集合。令˜Ad={˜aij}∈Rm×m 为线图˜Ge 的邻接矩阵,当(i,j)∈˜E 时,˜aij=1 ,否则˜aij=0 。令˜D=diag{˜di}∈Rm×m 为线图˜Ge 的度矩阵,˜di=∑mj=1,j≠i˜aij 。有向线图˜Ge 的拉普拉斯矩阵可以表示为˜L=˜D−˜Ad 。假设在有向线图˜Ge 中存在生成树,根据引理1可得0=Re(λ1(˜L))⩽Re(λ2(˜L))⩽⋯⩽Re(λn(˜L)) 1.2 正系统理论
对于连续时间的线性系统
˙ξ(t)=Eξ(t)+Fu(t) (2) 式中:
E、F 为适当维数的系统矩阵;ξ(t) 为状态;u(t) 为控制输入。如果在t⩾0 时,对于任意的初始状态ξ(0)⩾0 ,且u(t)⩾0 ,可以得到在之后的任一时间内ξ(t)⩾0 ,那么则称系统(2)为正系统。在本研究中,A>(⩾)0 表示矩阵A 中各元素大于(大于等于)0,矩阵A≻(≺)0 为矩阵A 为正定(负定)矩阵。定义1 给定一个
n×n 的矩阵M=[mij] ,如果除主对角线外所有元素均为非负数,即mij⩾0,i≠j ,则该矩阵M 被称为Metzler矩阵。引理2[13] 当且仅当
E 为Metzler矩阵,且F⩾0 时,系统(2)为正系统。引理3[15] 矩阵
M 为Hurwitz矩阵当且仅当存在一个D≻0 满足DM+MTD≺0 或MD+DMT≺0 。1.3 问题描述
对于包含
N 个节点和N 条边的节点图Gn ,边(s,l) 的状态由正线性系统表示为˙xsl(t)=Axsl(t)+Busl(t) (3) 式中:s、l为边的状态,
s,l∈1,2,⋯,N 且(s,l)∈E ,xsl(t)∈Rn+ ;usl(t)∈Rp 为控制输入;Rn+ 为n 维非负向量集合;Rp 为p 维的实数向量集合;A、B 为适当维数的系统矩阵。假设1:矩阵
A∈Rn×n 为Metzler矩阵,矩阵B∈Rn×p+ ,其中Rn×p+ 为n×p 的非负矩阵集合。为简化符号,用
Xi(t) (i=1,2,⋯m) 代替xsl(t) 表示边的状态,则系统(3)可改写为˙Xi(t)=AXi(t)+Bui(t) (4) 假设2:有向节点图
Gn 和有向线图˜Ge 均至少包含一棵有向生成树。在本研究中,对包含有向生成树的有向网络下的正系统的连边一致性问题,其定义如下。
正连边一致性问题:对于系统(4),在初始状态为非负时,设计一个控制协议
ui(t) 使在节点图Gn 中各连边状态达到一致,即lim (5) 并且当
t \geqslant 0 时,X(t) \geqslant 0 。2. 主要结论
为解决系统(4)的正连边一致性问题,本研究设计分布式一致性控制协议为
{u_i}(t) = K\displaystyle\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^m {{{\tilde a}_{ij}}({X_i}(t) - {X_j}(t))} ,{\text{ }}i = 1,2, \cdots ,m (6) 式中:
{\boldsymbol{K}} 为待设计反馈增益矩阵。定义{\boldsymbol{X}}(t) = {\left[ {{\boldsymbol{X}}_1^{\rm{T}}(t),{\boldsymbol{X}}_2^{\rm{T}}(t), \cdots ,{\boldsymbol{X}}_m^{\rm{T}}(t)} \right]^{\rm{T}}} ,那么闭环系统(4)和(6)可写为\dot {\boldsymbol{X}}(t) = \Omega {\boldsymbol{X}}(t) (7) 式中:
{ \boldsymbol \varOmega} = {{\boldsymbol{I}}_m} \otimes {\boldsymbol{A}} - (\widetilde {\boldsymbol{L}} \otimes {\boldsymbol{BK}}) 。显然,当且仅当\Omega 是Metzler矩阵时,系统(7)为正系统,其中\begin{split} & {\boldsymbol \varOmega} =\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol A - \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^m {{{\widetilde a}_{1j}}\boldsymbol {BK}} } & {{{\widetilde a}_{12}}\boldsymbol {BK}} & \cdots & {{{\widetilde a}_{1m}}\boldsymbol {BK}} \\ {{{\widetilde a}_{21}}\boldsymbol {BK}} & {\boldsymbol {A} - \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^m {{{\widetilde a}_{2j}}\boldsymbol {BK}} } & \cdots & {{{\widetilde a}_{2m}}\boldsymbol {BK}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{\widetilde a}_{m1}}\boldsymbol {BK}} & {{{\widetilde a}_{m2}}\boldsymbol {BK}} & \cdots & {A - \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^m {{{\widetilde a}_{mj}}\boldsymbol {BK}} } \end{array}} \right] \end{split} (8) 通过观察(8)可以发现,当且仅当
\boldsymbol {A} - \displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^m {{{\widetilde a}_{ij}}\boldsymbol {BK}{\text{ }}} (i = 1,2, \cdots ,m) 为Metzler矩阵且{\widetilde a_{ij}}\boldsymbol {BK} \geqslant 0 时,\boldsymbol \varOmega 是Metzler矩阵。为了方便说明,定义{l_{\max }} = \max ([{\widetilde L_{ii}}]) 。由于{\boldsymbol{A}} - {l_{\max }}{\boldsymbol{BK}} \leqslant {\boldsymbol{A}} - \displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^m {{{\widetilde a}_{ij}}{\boldsymbol{BK}}{\text{ }}} {\text{ , }}{\widetilde a_{ij}} \geqslant 0 , 进一步得到当且仅当{\boldsymbol{A}} - {l_{\max }}{\boldsymbol{BK}} 为Metzler矩阵且{\boldsymbol{BK}} \geqslant 0 时,{\boldsymbol{\varOmega }} 为Metzler矩阵。根据文献[16],当且仅当{{\boldsymbol{A}}_i} = {\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}{\boldsymbol{BK}}(i = 1,2, \cdots, m) 为Hurwitz矩阵时,系统(7)实现一致性。综上,可得到实现正连边一致性的条件如下。命题1:对于一个有
N 个节点和m 条边的包含生成树的有向图{G_n} ,在假设1和假设2成立的情况下,当且仅当以下条件成立时,正连边一致性问题被解决:1)
{\boldsymbol{BK}} \geqslant {\boldsymbol{0}} ;2)
{\boldsymbol{A}} - {l_{\max }}{\boldsymbol{BK}} 为Metzler矩阵;3)
{{\boldsymbol{A}}_i} = {\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{BK}}(i = 1,2, \cdots, m) 为Hurwitz矩阵。文献[8]中已经研究了单输入网络系统在无向图上的正一致性问题。但与无向图或者强连通且平衡的有向图不同,在包含生成树的有向图下,拉普拉斯矩阵不能保证是对称矩阵,这一变化导致了
{\lambda _i}(\widetilde L) 通常情况下是复数。即在条件3)中会涉及复数矩阵Hurwitz矩阵的判定,因此文献[16]中的设计结果不能直接推广。Riccati设计方法在协同控制设计中包含以下优点:1)将图拓扑的内容与反馈控制器的设计解耦;2)对图拓扑具有一定的稳健性。本研究还采用的Riccati设计方法的思想解决正连边一致性问题。不同于一般Riccati设计方法需要去求解设计求解代数Riccati等式(ARE),本研究结果需要求解代数Riccati不等式(ARI),因为这种等效形式可以为参数化控制器增益提供一些灵活性。
定理1 对于一个有
N 个节点和m 条边的包含生成树的有向网络{G_n} ,在假设1和假设2成立的情况下,如果存在实矩阵{\boldsymbol{P}} \succ 0,{\boldsymbol{S}} \succ 0 使得以下条件成立:1)
{\boldsymbol{BSB}}{^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \geqslant 0 ;2)
{\boldsymbol{A}} - {l_{\max }}{{\boldsymbol{BSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 为Metzler矩阵;3)
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde L)){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}P \prec 0 ,则存在
{\boldsymbol{K}} = {{\boldsymbol{SB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,使正连边一致性问题得到解决。证明:令
{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} = {\boldsymbol{S}} \succ 0 ,则{\boldsymbol{K}} = {{\boldsymbol{SB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{BP}} ,代入可以发现条件1)和2)与命题1中的条件1)和2)是相等的。条件3)等价于存在一个矩阵{\boldsymbol{Q}} \succ 0 ,使得ARE(9)存在唯一解{\boldsymbol{P}} \succ 0 ,即\begin{split} & {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\tilde L)){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{Q}} = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} +\\ & \quad {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\tilde L)){{\boldsymbol{PBR}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{Q}} = 0 \end{split} (9) 首先定义一个函数
\begin{split} & \varphi ({\lambda _i}(\widetilde L)) = {({\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{BK}})^*}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{P}}({\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{BK}}) = \\ & \quad {{\boldsymbol{A}}^T}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - ({{\bar \lambda }_i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{PBK}}) \end{split} (10) 式中:
{({\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{BK}})^*} 为矩阵{\boldsymbol{A}} - {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{BK}} 的埃尔米特转置(Hermitian transpose),i = 1,2, \cdots ,m ;{\bar \lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}) 为{\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}) 的共轭复数。由于{\boldsymbol{K}} = {{\boldsymbol{SB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,则\begin{split} & {{\bar \lambda }_i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{PBK}} = [{\text{Re(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))}} -\\ & {\text{Im(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))]}}{{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + [{\text{Re(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))}}+ \text{Im(}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))]}}{\boldsymbol{PBK}} =\\ & {\text{Re(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))(}}{{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PBK}}{\text{)}} - {\text{Im(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))}}({{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} -\\ & {\boldsymbol{PBK}}) = \quad{\text{Re(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))}}({{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{BS}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PBSB}}{^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}) -\\ & {\text{Im(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde {\boldsymbol{L}}{\text{))}}({{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{BS}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} - {\boldsymbol{PBSB}}{^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}) \end{split} (11) 式中:
{\text{Im(}}{\lambda _i}{\text{(}}\tilde L{\text{))}} 为拉普拉斯矩阵\tilde {\boldsymbol{L }} 的特征值{\lambda _i}{\text{(}}\tilde L{\text{)}} 的虚部。由于{\boldsymbol{P}} \succ 0,{\boldsymbol{S}} \succ 0 ,则{{\boldsymbol{P}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{BS}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{PBSB}}{^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,所以{\bar \lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}}){\boldsymbol{PBK}} = 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 。于是有\begin{split} & \varphi ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = \\ & \quad {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBR}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \end{split} (12) 结合(9)可以得到
\begin{split} & \varphi ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + \\ &\quad {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBR}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = - {\boldsymbol{Q}} \prec 0 \end{split} (13) 所以
\begin{split} & \varphi ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} - \\ &\quad 2({{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) - {{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}}))){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = - {\boldsymbol{Q}} - \\ &\quad 2({{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) - {{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}}))){{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \end{split} (14) 其中
\begin{split} & {{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = {{\boldsymbol{PBR}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} = ({{\boldsymbol{PBR}}^{ - 1}}){\boldsymbol{R}}({{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}) =\\ & \quad {{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{RK}} \succ 0 \end{split} (15) 由引理1可得
{{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) - {{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) > 0 ,则\begin{split} & \varphi ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) = - Q - 2({{\rm{Re}}} ({\lambda _i}(\widetilde {\boldsymbol{L}})) - \\ & \quad{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}}))){{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{RK}} \prec 0. \end{split} (16) 由引理3可得
{\boldsymbol{A}}_{i}={\boldsymbol{A}}-{\lambda }_{i}(\tilde{{\boldsymbol{L}}}){\boldsymbol{BK}} (i = 1,2, \cdots , m )为Hurwitz矩阵。证毕。由于随着多智能体数量的增加,拉普拉斯矩阵特征值而愈加难以获得,为避免使用拉普拉斯矩阵特征值信息,下面定理给出仅与有向节点网络边数有关的正连边一致性实现的充分条件。
定理2 对于一个有
N 个节点和m 条边的包含生成树的有向网络{G_n} ,在假设1和假设2成立的情况下,如果存在实矩阵{\boldsymbol{P}} \succ 0,{\boldsymbol{S}} \succ 0 及正常数\varepsilon > 0 使得以下条件成立:1)
{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \geqslant 0 ;2)
{\boldsymbol{A}} - m{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 为Metzler矩阵;3)
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \prec 0 ,则存在
{\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,使正连边一致性问题得到解决。证明:对于具有
m 条边的节点网络{G_n} ,根据节点图与线图之间的对应关系,显然连边网络{\widetilde G_e} 拥有m 个节点,而{l_{\max }} = \max ([{\widetilde L_{ii}}]) 表示的线图拉普拉斯矩阵对角线元素最大值,故{l_{\max }} \leqslant m - 1 < m ,又由于{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \geqslant 0 ,所以当{\boldsymbol{A}} - m{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 为Metzler矩阵时,{\boldsymbol{A}} - {l_{\max }}{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 一定为Metzler矩阵。同时,总是可以找到一个足够小的数\varepsilon 来满足\varepsilon \leqslant 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde L)) 。所以当{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \prec 0 时,{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}){\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \prec 0 成立。证毕。与文献[10]相比,本研究提出的
{l_{\max }} 的上界m 比4{m^2} - 2m 更有优势。由于m 代表的节点网络的连边数量,故m \geqslant 1 。于是(4{m^2} - 2m) - m = 4{m^2} - 3m = m(4m - 3) > 0 ,即m < 4{m^2} - 2m 。根据拉普拉斯矩阵的定义,{l_{\max }} 为拉普拉斯矩阵主对角线上的最大值,故存在{l_{\max }} \leqslant m - 1 \leqslant m < 4{m^2} - 2m 。所以与4{m^2} - 2m 相比,m 是{l_{\max }} 保守性较低的上界。值得注意的,在代数Riccati等式
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - 2{{\rm{Re}}} ({\lambda _2}(\widetilde {\boldsymbol{L}})){\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + Q = 0 中要求{\boldsymbol{P}} \succ 0,{\boldsymbol{S}} \succ 0 和{\boldsymbol{Q}} \succ 0 ,即用于正连边一致性的Riccati设计要求解关于两个给定的实矩阵{\boldsymbol{Q}} \succ 0 和{\boldsymbol{S}} \succ 0 的代数Riccati等式,得到一个解{\boldsymbol{P}} \succ 0 ,并选择适当的耦合增益。但由于{\boldsymbol{Q}} \succ 0 和{\boldsymbol{S}} \succ 0 是任意给定的,这样的设计框架并不能保证连边系统的正性。关键问题就是如何找到一对合适的({\boldsymbol{P}},{\boldsymbol{S}}) 同时实现系统的正性和一致性,这促使本研究提出以下定理进行算法开发。定理3 对于一个有
N 个节点和m 条边的包含生成树的有向网络{G_n} ,在假设1和假设2成立的情况下,如果存在实矩阵{\boldsymbol{P}} \succ 0,{\boldsymbol{S}} \succ 0 和{\boldsymbol{X}} 及正常数\varepsilon > 0 使得以下条件成立:1)
{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \geqslant 0 ;2)
{\boldsymbol{A}} - m{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 为Metzler矩阵;3)
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\;\; + \;\;{\boldsymbol{PA}} \;\;- \;\;\varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}} \;\;-\;\; \varepsilon {\boldsymbol{XBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \;\;+ \varepsilon {\boldsymbol{XBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}} } \prec 0 ,则存在
{\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,使正连边一致性问题得到解决。证明:由于条件1)和2)与定理2中的条件1)和2)是相同的,因此需要证明条件3)与定理2中条件3)的等价性。
首先证明充分性,已知
\begin{split} & {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}} - \varepsilon {\boldsymbol{XBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} +\\ &\quad \varepsilon {\boldsymbol{XBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}} = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} +\\ &\quad \varepsilon ({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}}){\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}})^{\rm{T}} \prec 0 \end{split} (17) 由于
({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}}){\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}})^{\rm{T}}} \succ 0 (18) 所以
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \prec 0 。这意味着定理3的条件3)可以推导得到定理2的条件3)。接下来证明其必要性。当定理2的条件3)成立时,即
{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} \prec 0 时,此时显然存在{\boldsymbol{X}} = {\boldsymbol{P}} ,使{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + \varepsilon ({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}}){{\boldsymbol{BSB}}^{\rm{T}}}({\boldsymbol{X}} - {\boldsymbol{P}})^{\rm{T}} \prec 0 。这表明由定理2的条件3)可以得到定理3的条件3)。综上可得定理2与定理3是等价的。证毕。为找一对合适的矩阵,基于定理2和定理3提出一种迭代算法,称为PECPDG (positive edge-consensus problem with directed graphs) 算法,计算过程如下。
Step 1:令
k = 1,v = 1,{\varsigma ^{(0)}} = 0 。对于给定的{{\boldsymbol{S}}^{(1)}} = {\boldsymbol{I}} ,寻找一个矩阵{{\boldsymbol{P}}^{(1)}} = {{\boldsymbol{U}}^{ - 1}} \succ 0 使得线性矩阵不等式{{\boldsymbol{UA}}^{\rm{T}}} + {\boldsymbol{AU}} - \varepsilon {{\boldsymbol{BS}}^{(1)}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}} \prec 0 成立。Step 2:令
{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{P}}^{(k)}},{\boldsymbol{S}} = {{\boldsymbol{S}}^{(k)}} ,求解在{\boldsymbol{P}} \succ 0 时最小的{\varsigma ^{(l)}} ,计算式为\left\{\begin{array}{l}{{\boldsymbol{BSB}}}^{{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\geqslant 0\\ {\boldsymbol{A}}-{m{\boldsymbol{BSB}}}^{{\rm{T}}}{\boldsymbol{PS}}为\text{Metzler}矩阵\\ \Gamma ({\boldsymbol{P}},{\boldsymbol{X}},{\boldsymbol{S}})\prec {\varsigma }^{(v)}{\boldsymbol{I}}\end{array}\right. 其中,
\Gamma ({\boldsymbol{P}},{\boldsymbol{X}},{\boldsymbol{S}}) \;\;\;=\; \;\;{{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\;\;\; +\; \;\;{\boldsymbol{PA}} \;\;-\;\; \varepsilon {{\boldsymbol{PBSB}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}} \;\;- \varepsilon {{\boldsymbol{XBSB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + \varepsilon {{\boldsymbol{XBSB}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{X}}^{\rm{T}}} 。Step 3:如果得到的
{\varsigma ^{(v)}} \leqslant 0 ,那么可以得到控制器{\boldsymbol{K}} = {{\boldsymbol{SB}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,结束。否则,进行下一步。Step 4:如果
{{\left| {{\varsigma ^{(v)}} - {\varsigma ^{(v - 1)}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{\varsigma ^{(v)}} - {\varsigma ^{(v - 1)}}} \right|} {{\varsigma ^{(v)}}}}} \right. } {{\varsigma ^{(v)}}}} < \theta ,其中\theta 为提前设置好的容忍度,则该算法无法找到所需的解,结束;否则,令k = k + 1,v = v + 1 ,并更新{{\boldsymbol{P}}^{(k)}} 为{{\boldsymbol{P}}^{(k)}} = {\boldsymbol{P}} ,进行下一步。Step 5:令
{\boldsymbol{P}} = {{\boldsymbol{P}}^{(k)}} ,找到在{\boldsymbol{S}} > 0 时最小的{\varsigma ^{(v)}} ,计算式为\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}}^{{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}}\geqslant 0\\ {\boldsymbol{A}}-m{\boldsymbol{BS}}{{\boldsymbol{B}}}^{{\rm{T}}}{\boldsymbol{PS}}是\text{Metzler}矩阵\\ {\boldsymbol{\varOmega}} ({\boldsymbol{P}},{\boldsymbol{S}})\prec {\varsigma }^{(v)}{\boldsymbol{I}}\end{array} \right. 其中,
{\boldsymbol{\varOmega}} ({\boldsymbol{P}},{\boldsymbol{S}}) = {{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \varepsilon {\boldsymbol{PBS}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} 。Step 6:如果得到的
{\varsigma ^{(v)}} \leqslant 0 ,那么可以得到控制器{\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{P}} ,结束。否则,进行下一步。Step 7:如果
{{\left| {{\varsigma ^{(v)}} - {\varsigma ^{(v - 1)}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{\varsigma ^{(v)}} - {\varsigma ^{(v - 1)}}} \right|} {{\varsigma ^{(v)}}}}} \right. } {{\varsigma ^{(v)}}}} < \theta ,则该算法无法找到所需的解,结束。否则,更新{S^{(k)}} 为{S^{(k)}} = S ,并且令v = v + 1 ,返回Step 2。3. 数值仿真
本节利用一个仿真实例来验证所得结果的有效性。在一个含有5个节点6条边的拓扑结构中,节点图和线图均包含生成树,如图2所示。
设系统矩阵为
{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\text{ },\text{ }{\boldsymbol{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ 2.98\end{array}\right] 式中:
N = 5,m = 6 ,并且取\varepsilon = 0.015 。根据PECPDG算法可得K=\left[-0.645\;1,\text{ }0.286\;6\right]\text{ } (19) 使用控制器的正连边一致性结果如图3所示。图中线条表示每个多智能体的状态轨迹。从图中可以看出,连边状态趋于一致,且均保持为非负。这说明对于由5个多智能体组成的包含生成树的有向图,正连边一致性得到实现。
4. 结 语
本研究探讨了在包含生成树的有向图下的正线性系统的连边一致性问题,得出保守性较低的正连边一致性充分条件,研究结果具有更广泛的适用场景。同时,提出的充分条件避免了使用特征值信息,通过求解Riccati不等式设计了一种半正定规划算法,数值仿真验证了提出控制协议的有效性。未来工作将集中在利用观测器来解决针对部分状态不可测的正连边一致性问题,并尝试将研究结果推广到分数阶系统和离散系统中。
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