面对航空市场萎缩和“监管新规”相继出台带来的严峻形势，飞机租赁双方在复杂的市场环境中如何决策以保障自身利益是一个关键问题。目前，关于该问题的研究主要集中在几个方面。一是考虑航空公司和租赁公司双方主体的决策优化研究，部分学者从风险规避和政策变更角度提出优化建议^[1-3]，更有学者对租赁双方为母子公司的情形进行讨论。从较为宏观的运营层面，郭萍等^[4]提出航空公司可以成立专门承接租赁业务的子公司，由其与母航空公司进行业务往来；王路耀等^[5]建议航空公司发挥企业协同效应，与其他板块整合达到增强整体抗风险和盈利能力。从微观的企业动态决策层面，曾江洪等^[6]通过演化博弈证明母子公司治理不存在最优演化策略，通过对子公司增加惩罚力度和不定期抽查等方法可使其向着集团利益最大化，母公司向着不监督方向演化；马喜芳等^[7]利用动态纳什均衡方法证明母公司应对子公司加强监管，对不合规的子公司的惩罚力度应大于对其监管的代价；郁屏^[8]使用多阶段重复博弈模型证明长期激励和股权激励等措施可实现子公司业绩不操纵，母公司不监管的策略目标。二是从政府角度出发，提出促进我国航空租赁行业发展的政策措施，如为租赁双方制定新的财务绩效指标^[9]，明确财务造假的民事和刑事责任^[10]，完善关联方交易相关政策^[11]等。

综上所述，现有文献较少运用定量方法考虑政府、航空公司和租赁公司三方利益主体决策优化问题。本研究重点针对飞机租赁主体为母子关系的情形，构建三方博弈模型，并探寻影响策略优化的关键因素，以期为各方决策选择提供参考。

1.   模型构建分析

1.1   问题描述

政府是政策制定者和市场引导者，以社会综合效益最大化为目标，通过补贴和罚款等方法对飞机租赁双方进行监管。航空公司是飞机需求方和子公司的监管者，以集团利益最大化为目标。租赁公司是供给方，以自身利益最大化为目标，接受政府和航空公司双重监管。三方主体目标不同，策略选择也会有差异。

1.2   模型假设

基于以上问题描述，本研究做如下假设。

假设1：博弈过程中的参与方包括航空公司、租赁公司和政府，其中租赁双方为母子公司。

假设2：政府考虑不同监管程度的社会效益和奖惩制度等因素，采取 “积极监管”策略表示愿意为鼓励企业相互合作使用一定的奖惩措施，采取 “消极监管”策略表示政府只对租赁双方进行监管，不采取任何奖惩措施。记政府 “积极监管”概率为$x$，则“消极监管”概率为$(1 - x)$。

假设3：航空公司考虑监管效益和成本等因素，采取 “严格监督”策略表示愿意付出时间和人力成本对租赁公司进行监管；采取“宽松监管”策略表示对租赁公司只进行常规监管，难以发现其损害集团利益行为。记航空公司 “严格监督”概率为$y$，则“宽松监督”概率为$(1 - y)$。

假设4：租赁公司考虑经营目标和损益等因素，采取 “合作”策略表示选择与航空公司达成合作，实现双赢；采取“对抗”策略表示选择以高租赁率等激进手段与航空公司签订合同，实现增大自身利润数额目的。记租赁公司 “合作”概率为$z$，则“对抗”概率为$(1 - z)$。

基于上述假设，对主要参数的定义见表1。

表  1  博弈模型中参数符号和含义

Table  1.  Symbols and meanings of parameters in game model

符号	含义
$S$	政府积极监督的综合效益
$t$	政府对租赁双方交易的监督成本
${g_1}$	政府对航空公司的奖励金额
${g_2}$	政府对航空公司的处罚金额
${f_1}$	政府对租赁公司的激励补贴
$h$	政府双倍监督成本
$U$	“合作”策略时集团总收益
$V$	“对抗”策略时集团总收益
$r$	租赁公司得到总收益的比例
$a$	航空公司对租赁公司的监督成本
$b$	航空公司对租赁公司的惩罚金额
$c$	租赁公司获得的额外收益

下载: 导出CSV 

| 显示表格

1.3   演化博弈模型

1.3.1   构建收益矩阵

根据上述基本假设与参数设定，分别按照政府、航空公司和租赁公司收益情况列示三方演化博弈的收益矩阵，见表2。

表  2  三方演化博弈的收益矩阵

Table  2.  Returns matrix of tripartite evolutionary game

航空公司	租赁公司	政府
		积极监管$x$	消极监管$(1 - x)$
严格 监督 y	合作$z$	$S - t - {f_1} - {g_1}(1 - z)$	$- t$
		$(1 - r)U - a + {g_1}$	$(1 - r)U - a$
		$rU + {f_1}$	$rU$
	对抗$(1 - z)$	$S - t - {g_1}$	$- t$
		$(1 - r)V - a + b - c + {g_1}$	$(1 - r)V - a + b - c$
		$rV - b - c$	$rV - b - c$
宽松 监督 (1 − y)	合作$z$	$S - t - {f_1} + {g_2} - h$	$- t$
		$(1 - r)U - {g_2}$	$(1 - r)U$
		$rU + {f_1}$	$rU$
	对抗$(1 - z)$	$S - t + {g_2} - h$	$- t$
		$(1 - r)V - c - {g_2}$	$(1 - r)V - c$
		$rV + c$	$rV + c$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

1.3.2   计算期望收益和复制动态方程

根据不同策略选择时各博弈主体的期望收益，可进一步可求得复制动态方程，揭示不同策略之间的对抗和合作关系，以及演化稳定策略的形成机制。

1）政府的期望收益

记政府“积极监管”的期望收益为${U_{11}}$，“消极监管”的期望收益为${U_{12}}$，平均期望收益为${U_1}$，公式为

政府的复制动态方程为

2）航空公司的期望收益

记航空公司“严格监督”的期望收益为${U_{21}}$，“宽松监管”的期望收益为${U_{22}}$，平均期望收益为${U_2}$，公式为

航空公司的复制动态方程为

3）租赁公司的期望收益

记租赁公司“合作”的期望收益为${U_{31}}$，“对抗”的期望收益为${U_{32}}$，平均期望收益为${U_3}$，公式为

租赁公司的复制动态方程为

由于三方主体是有限理性的，需要在长期博弈中形成复制动态系统，学习和观察自身利益最大化条件，不断调整优化策略，最终达到稳定。

2.   稳定性分析

由复制动态方程原理可知，当 $F(x)=0、 F(y)=0、F(z)=0$，且方程求导后的值小于零时，该点为三方主体的最佳策略选择。

2.1   博弈主体策略选择稳定性分析

1）政府策略选择稳定性分析

对政府的复制动态方程求导可得

根据微分方程稳定性定理可知，政府策略稳定应当满足：$F(x) = 0$且$F'(x) < 0$。当$F(x) = 0$时， $x = 0$或$x = 1$；当$y = {y_{\text{0}}} = \dfrac{{ - S - {g_{\text{2}}} + h + z{f_{\text{1}}}}}{{h - {g_{\text{1}}} - {g_{\text{2}}}}}$时，$F(x)$和$F'(x)$恒等于0，此时$x$取任意值，政府都处于稳定状态。

当$y > {y_{\text{0}}}$时，$F'(x)|x = 0 > 0$，$F'(x)|x = 1 < 0$，即$x = 1$为稳定演化策略；同理，当$y < {y_{\text{0}}}$时，$F'(x)|x = 0 < 0$，$F'(x)|x = 1 > 0$，即$x = 0$为稳定演化策略。随着${g_1}$和${f_1}$增大，${y_{\text{0}}}$增大，政府选择消极监管策略；同理，随着$S$增大，${y_{\text{0}}}$减少，政府选择积极监管策略。

2）航空公司策略选择稳定性分析

对航空公司的复制动态方程求导可得

根据微分方程稳定性定理可知，航空公司策略稳定应当满足：$F(y) = 0$且$F'(y) < 0$。当$F(y) = 0$时， $y = 0$或$y = 1$；当$x = {x_{\text{0}}} = \dfrac{{a - b + zb}}{{{g_{\text{1}}} + {g_{\text{2}}}}}$时，$F(y)$和$F'(y)$恒等于0，此时$y$取任意值，航空公司都处于稳定状态。

当$x > {x_{\text{0}}}$时，$F'(y)|y = 0 > 0$，$F'(y)|y = 1 < 0$ ，即$y = 1$为稳定演化策略；同理，当$x < {x_{\text{0}}}$时，$F'(y)|y = 0 < 0$，$F'(y)|y = 1 > 0$，即$y = 0$为稳定演化策略。随着$a$增大，${x_{\text{0}}}$增大，航空公司选择宽松监督策略；同理，随着${g_1}$、${g_2}$和$b$增大，${x_{\text{0}}}$减少，航空公司选择严格监管策略。

3）租赁公司策略选择稳定性分析

对租赁公司的复制动态方程求导可得

根据微分方程稳定性定理可知，租赁公司策略稳定应当满足：$F(z) = 0$且$F'(z) < 0$。当$F(z) = 0$时， $z = 0$或$z = 1$；当$x = {x_{\text{0}}} = \dfrac{{c - y(b + 2c) - r(U - V)}}{{{f_{\text{1}}}}}$时，$F(z)$和$F'(z)$恒等于0，此时$z$取任意值，租赁公司都处于稳定状态。

当$x > {x_{\text{0}}}$时，$F'(z)|z = 0 > 0$，$F'(z)|z = 1 < 0$ ，即$z = 1$为稳定演化策略；同理，当$x < {x_{\text{0}}}$时，$F'(z)|z = 0 < 0$，$F'(z)|z = 1 > 0$，即$z = 0$为稳定演化策略。随着$V$增大，${x_{\text{0}}}$增大，租赁公司于选择对抗策略；同理，随着${f_1}$、$b$和$U$增大，${x_{\text{0}}}$减少，租赁公司选择合作策略。

2.2   三方混合策略选择稳定性分析

2.2.1   均衡点稳定性判定

基于2.1节对三方主体策略的稳定性分析，联立复制动态方程得到雅可比矩阵，通过分析矩阵的稳定性，探讨共同作用下各博弈主体的策略选择演化规律。令$F(x) = F(y) = F(z) = 0$可得

求解上式得到该系统处于稳定状态时有8个均衡解E_i(x,y,z)，分别为${E_{\text{1}}}(0,0,0)$、${E_{\text{2}}}(1,0,0)$、${E_{\text{3}}}(0,1,0)$、${E_{\text{4}}}(0,0,1)$、${E_{\text{5}}}(1,1,0)$、${E_{\text{6}}}(1,0,1)$、${E_{\text{7}}}(0,1,1)$和${E_{\text{8}}}(1,1,1)$。由上述方程可求出该系统的雅可比矩阵为

其中

由Lyapunov法则^[12]可知，当所有的特征值为负数时，该均衡点为稳定点；若有一个或两个特征值为负数时，该均衡点为鞍点；其余为不稳定点。将8个均衡点带入雅可比矩阵，得到各均衡点对应的特征值${\lambda _i}$$(i = 1,2,3)$，基本假设判定其稳定性情况见表3。

表  3  均衡点稳定性判定

Table  3.  Stability determination of equilibrium points

均衡解	${\lambda _1}$	${\lambda _2}$	${\lambda _3}$	稳定性
${E_{\text{1}}}(0,0,0)$	$b - a$	$rU - c - rV$	$S + {g_{\text{2}}} - h$	鞍点或不稳定点
${E_{\text{2}}}(1,0,0)$	$h - {g_{\text{2}}} - S$	$b - a + {g_{\text{1}}} + {g_{\text{2}}}$	${f_{\text{1}}} - c + rU - rV$	鞍点或不稳定点
${E_{\text{3}}}(0,1,0)$	$S - {g_{\text{1}}}$	$a - b$	$b + c + rU - rV$	鞍点或不稳定点
${E_{\text{4}}}(0,0,1)$	$- a$	$c - rU + rV$	$S - {f_{\text{1}}} + {g_{\text{2}}} - h$	鞍点或稳定点
${E_{\text{5}}}(1,1,0)$	${g_{\text{1}}} - S$	$a - b - {g_{\text{1}}} - {g_{\text{2}}}$	$b + c + {f_{\text{1}}} + rU - rV$	鞍点或不稳定点
${E_{\text{6}}}(1,0,1)$	${g_{\text{1}}} - a + {g_{\text{2}}}$	${f_{\text{1}}} - S - {g_{\text{2}}} + h$	$c - {f_{\text{1}}} - rU + rV$	未知
${E_{\text{7}}}(0,1,1)$	$a$	$S - {f_{\text{1}}} - {g_{\text{1}}}$	$rV - c - rU - b$	鞍点或不稳定点
${E_{\text{8}}}(1,1,1)$	$a - {g_{\text{1}}} - {g_{\text{2}}}$	${f_{\text{1}}} - S + {g_{\text{1}}}$	$rV - c - {f_{\text{1}}} - rU - b$	未知

下载: 导出CSV 

| 显示表格

2.2.2   稳定演化策略分析

综上所述，设定不同参数值会影响特征值的正负，但在均衡解为${E_{\text{4}}}(0,0,1)$、${E_{\text{6}}}(1,0,1)$和${E_{\text{8}}}(1,1,1)$时，该系统可能处于稳定状态。结合我国飞机租赁市场发展规律与监管实践，将其演化过程大致分为初创期、发展期和成熟期三个阶段。

1）初创期：当$c - rU + rV < 0$且$S - {f_{\text{1}}} + {g_{\text{2}}} - h < 0$时，系统稳定点为${E_{\text{4}}}(0,0,1)$。租赁公司成立初期对市场前景不清晰，无法获得高额对抗收益，其选择合作协助集团共同发展；而政府对发展初期行业监管的不完备性，为航空公司自由设立子公司提供条件。

2）发展期：当${g_{\text{1}}} - a + {g_{\text{2}}} < 0$，${f_{\text{1}}} - S - {g_{\text{2}}} + h < 0$且$c - {f_{\text{1}}} - rU + rV < 0$时，系统稳定点为${E_{\text{6}}}(1,0,1)$。随着博弈主体逐渐熟悉市场发展规律，引起竞争加剧；同时，制度和奖惩机制的缺乏等原因也引发委托代理问题。政府为引导租赁双方可持续健康发展颁布了一系列相关监管文件，如《金融租赁公司专业子公司管理暂行规定》等。因此，政府监管对自律管理的介入是市场发展的必然过程。

3）成熟期：当$a - {g_{\text{1}}} - {g_{\text{2}}} < 0$且${f_{\text{1}}} - S + {g_{\text{1}}} < 0$时，系统稳定点为$E_8(1,1,1)$。在市场成熟期，企业为树立良好形象愿意承担更多社会责任，实现增大社会效益的目标。同时政府和航空公司一同对租赁公司进行监管，使其适应复杂的市场环境，推动飞机租赁行业多元化发展。因此，合作监管是市场成熟的重要标志。

3.   系统动力学模型与数值仿真

根据上述分析可得，当租赁双方处于不同发展期，最优策略选择不同。以下结合系统动力学(system dynamics, SD)方法进行仿真分析，探究影响三方主体策略选择的外部变量。

3.1   构建系统动力学模型

采用Vensim PLF软件构建政府、航空公司及其附属子租赁公司三方博弈仿真模型，如图1所示。其中：$x$、$y$和$z$属于系统存量，是积极监管变化率、严格监督变化率和合作概率变化率等3个流率变量对时间积分所得；期望收益${U}_{11}、{U}_{12}、{U}_{21}、 {U}_{22}、 {U}_{31}、{U}_{32}$为系统中间变量；其他参数均为系统外部变量，模型中的函数关系见上文中复制动态方程式。本研究参考《二零二二年中国租赁业调查报告》中行业发展现状，设置参数初始值为：$S{\text{ = 30,}} t = 10,{g_1} = 5,{g_2} = 8,{f_1} = 6$，h = 9，U = 150，V = 100，r = 0.6，a = 15，b = 20，c = 35。

图  1  三方博弈主体的系统动力学模型

Figure  1.  System dynamics model of tripartite game players

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.2   系统演化路径分析

当系统处于稳定状态时，无论概率如何改变，三方主体策略选择都不变。将初创期均衡点$(0,0,1)$带入模型，为验证系统稳定性，将$x$由0变为0.01，$x$发生细微变化，政府策略选择随时间向积极监管演变，并趋于稳定；然后将$y$由0变为0.01，为获得更高收益，航空公司策略选择随时间向严格监督演变，并趋于稳定。政府演化速率快于航空公司，表明政府会在航空公司对子公司管理前进行监督，防止其内幕交易损害社会利益。由以上分析可知：在不同时期，租赁公司都选择合作策略。在$x = 1$和$y = 1$的条件下，将$z$由1变为0.5，租赁公司策略仍会向合作演变，如图2所示。综上所述，该系统的纯策略为$(1,1,1)$。

图  2  突变演化具体过程

Figure  2.  Specific process of mutation evolution

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.3   敏感性分析

由3.2节分析可知，系统最优策略为$(1,1,1)$。模型参数取值不同，三方主体达到稳定策略的速度不同。在其他参数不变的情况下，改变关键因素取值，探究外部变量对博弈主体演化状态的影响。

1）影响政府策略的关键因素分析

当$y = 1$且$z = 1$，$x = 0.01$时，对$S$、${g_1}$、${f_1}$三个变量取不同值，演化结果如图3所示。

图  3  关键因素对政府决策的影响

Figure  3.  Influence of key factors on government decision-making

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图可见，随着政府积极监督的综合效益增加，其达到积极监管策略时间越短。为满足人们对美好生活的需要，政府始终把社会效益放在首位，提高其对政府选择积极监管策略有正向促进作用。随着政府对航空公司和租赁公司奖励金额增加，其达到积极监管策略时间越长。由于政府采取激励政策力度越大，其财政负担越重，放缓了其到达稳定策略的速度。因此，设置合理的激励制度是政府积极监管的首要任务。

2）影响航空公司策略的关键因素分析

当$x = 1$且$z = 1$，$y = 0.01$时，对$a$、${g_1}$、${g_2}$三个变量取不同值，演化结果如图4所示。

图  4  关键因素对航空公司决策的影响

Figure  4.  Influence of key factors on airline decisions

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图可见，随着航空公司监督成本增加，其达到严格监督策略时间越长。因为航空公司以集团利益最大化为目标，而监督成本作为成本项扣减利润，放缓了其达到稳定策略的速度。随着政府积极监管时对航空公司奖惩金额增加，其达到严格监督策略时间越短。政府对合规航空公司的奖励减缓了其成本压力，对不合规航空公司惩罚督促其自查。因此，加大对航空公司的奖惩力度是促进航空公司对其子公司自我监管的有效手段。

3）影响租赁公司策略的关键因素分析

当$x = 1$且$y = 1$，$z = 0.01$时，对${f_1}$、$b$、$c$三个变量取不同值，演化结果如图5所示。

图  5  关键因素对租赁公司决策的影响

Figure  5.  Influence of key factors on the decision-making of leasing companies

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图可见，随着3个变量增大，其达到合作策略时间缩短。政府通过补贴形式增加租赁公司利润总额，激发其向着合作策略演化；在航空公司实施严格监督情况下，租赁公司不能为了追求短期经济利益，以破坏与母公司友好合作形象为代价背离集团经营目标。航空公司对租赁公司惩罚有效促使其达成合作，提升集团市场竞争力；高额对抗收益对应着高额风险，租赁公司在航空公司严格监督条件下难以获得额外收益。

4.   结　语

本研究综合系统动力学和演化博弈方法研究政府参与下的飞机租赁三方利益主体决策优化问题，相关结果表明：各主体会在市场不同发展时期根据自身利益变化动态调整策略选择，最终在成熟期达到政府积极监管、航空公司严格监督和租赁公司合作的稳定均衡状态；在演化过程中，监管制度和奖励措施是影响系统达到稳定状态的重要指标。未来可通过获取更多实证数据，进一步探讨各参数之间的作用关系。