串联机器人工作空间大，但承载能力低；并联机器人承载能力强、累积误差小，但工作空间小；混联机器人结合了并联机器人和串联机器人的优点，可实现面向大型复杂结构件的高精度加工，在航空航天和汽车制造等领域具有广泛的应用前景，是材料加工领域发展的新思路^[1]. 国外的Exechon^[2]公司基于2UPR/SPR设计了Exechon混联机器人，已应用于汽车装配自动线上的加工、装配和焊接等工序；NeosRobotic公司设计出的Tricept^[3]混联机器人由2R1T并联机构3UPS/UP和安装在动平台上两自由度的调姿转头构成；德国DS-Technologie公司基于3PRS并联机构设计了SprintZ3^[4]主轴头. 国内天津大学所研制的TriVariant^[5]、TriMule^[6]两款混联机器人是以2UPS/UP和R(2-RPS&RP)UPS并联机器人为主体，分别在动平台配合AC摆头；燕山大学推出的2RPU/UPR+R+P^[7]五自由度混联机器人是在2RPU/UPR并联机构动平台处串接单自由度摆头，并添加一个移动平台，实现机器人的五轴联动；清华大学、燕山大学联合上海航天设备制造有限公司基于并联机构2UPU/SP^[8]配合AC摆头研制的五自由度混联机器人已获得实际工程应用. 综上，2R1T并联机构作为混联机器人的主体是国内外学者的研究重点，是混联机器人设计的核心问题，其运动精度决定工件的加工质量^[9]. 并联机构因加工和装配产生的结构误差对混联机器人末端定位精度影响很大^[10]，因此必须对并联机器人进行误差辨识.

误差建模是指建立机构动平台位姿误差与各支链的几何误差源之间的映射模型，是参数辨识的理论基础. 常用的误差建模方法有：DH法^[11]、摄动法^[12]、矢量微分法^[13]. 国内外研究学者针对误差模型的建立方法开展了大量的工作. Kumar等^[14]提出DH矩阵法，并将此方法应用于串联机器人的精度模型；Kiridena等^[15]将DH法应用于机床领域，使得DH法成为误差建模的通用方案；赵磊等^[16]采用DH参数构建坐标系间的变换矩阵，基于空间矢量闭环方程建立机器人的运动学模型，基于偏微分原理修正DH参数，建立误差模型，该误差模型忽略了关节间隙和晃动的误差因素，并联机构动平台位置精度低. 基于实际DH参数建立齐次坐标变换的方法不易获得解析表达式、运算复杂，无法为后续在线标定与在线补偿提供数学基础，且难以直观反映误差源与末端位姿的映射关系.

摄动法直接对机构的各个误差源用微小位移矢量进行合成，从而得到末端位姿误差与误差源的映射关系. 洪振宇等^[17]通过对闭环矢量方程进行一阶摄动实现末端位置误差与姿态误差分离，建立了TriVariant机器人的位置误差模型和姿态误差模型；刘海涛等^[18]将误差源分为可补偿误差源与不可补偿误差源，基于矢量法和微小摄动原理建立并联机构误差模型，通过提高不可补偿误差源的加工精度实现2UPS/UP的精度设计；谭兴强等^[19]基于摄动法建立6_PUS机构各支链的误差模型，借助误差灵敏度分析，控制制造装配过程产生的误差，提高机器人运动精度. 基于摄动法建立误差模型仅考虑一阶线性误差，忽略高阶误差耦合项，但误差定义的物理意义明确，可用于建立混并联机构的误差模型.

矢量微分法对并联机构的各条支链建立矢量方程并进行微分运算，进而获得几何误差的传递关系，与理想矢量方程结合推导出机构的误差模型. 李寅翔^[20]运用矢量链法建立2-UPR-RPU并联机构动平台末端位姿误差与几何误差源间的映射关系，并将影响位置误差和姿态误差的几何误差源区分，将误差源分为可补偿误差源和不可补偿误差源分别进行分析；李官明等^[21]综合考虑驱动副安装位置误差、杆长误差、动平台尺寸误差，基于矢量微分法推导了一种平面结构冗余并联机构的动平台位姿误差与几何误差源之间的映射模型，但该误差模型没有考虑机构中转动副的轴线误差对动平台位姿精度的影响. 该方法建模思路简洁，误差模型物理意义明确. 本研究采用一阶摄动法结合封闭矢量链建立单关节误差模型，为建立支链和机构误差模型奠定理论基础.

高精度并联平台需要基于误差模型进行误差灵敏度仿真分析，消除非敏感误差项，提高参数辨识的效率^[22]，为在线补偿奠定基础. DH法、摄动法和矢量微分法均可建立串并联机器人的误差模型，本研究则结合摄动法和封闭矢量链推导单关节误差模型；基于被动误差与结构误差的耦合关系和机构运动特性分别建立支链和并联机构的误差模型；通过误差灵敏度仿真分析筛选出对末端位置精度影响较小的误差源，为降低误差参数辨识的数量、复杂度和计算量提供解决方案.

1.   机构描述

2UPR/UPS/UP+AC摆混联机构如图1所示，由并联机构与两自由度AC摆组成，并联机构包含固定平台、动平台和四条支链，分别为两条UPR支链、UPS支链和UP支链. 其中，U、P、R、S分别为虎克铰、移动副、转动副和球铰；虎克铰和球铰可视为两个或三个转动副串联而成；构成U副的两个R副的轴线理论情况下垂直，并规定安装在机构主体的转动轴线为近架轴线，另一转动副轴线为远架轴线，S副的三轴线理论情况下两两垂直. UPR支链的一端通过虎克铰连接在固定平台上，另一端通过转动副与动平台相连；UPS支链的一端通过虎克铰与固定平台相连，另一端通过球铰与动平台连接；UP支链的一端通过虎克铰与固定平台连接，另一端与动平台固接. UPR支链和UPS支链为驱动杆. 两自由度AC摆头与并联机构动平台的中心点C固接， D(E)为AC摆转动轴的交点，${A_i}$为定平台铰链点的中心点，${B_i}$为动平台铰链点的中心点，虎克铰的近架轴线与${A_1}$${A_{\text{3}}}$重合，远架轴线垂直于移动副的轴线. 设${L_{Ai}}(i = 1,2, 3,4)$为铰链点A_i的U副近架轴线与远架轴线的公垂线，${L_{Aix}}(i = 1,2,3,4)$为铰链点A_i的U副远架轴线与支链P副轴线的公垂线. 杆长${l_i}$为${A_i}$${B_i}$之间的距离，${\theta _1}$为摆头绕C摆轴线转动的角度，${\theta _2}$为刀具绕A摆轴线转动的角度. AC摆转动中心D(E)至刀具末端点的长度n，至C点长度m. 动平台的初始高度为${h_0}$，a和b分别为定平台和动平台外接圆的半径.

图  1  2UPR/UPS/UP+AC摆混联机构

Figure  1.  2UPR/UPS/UP+AC pendulum hybrid mechanism

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在定平台和动平台分别建立基坐标系$\{ O\} - {x_O}{y_O}{z_O}$和动坐标系$\{ C\} - {x_C}{y_C}{z_C}$，定平台坐标系的${x_O}$轴平行于${A_1}{A_{\text{3}}}$，${z_O}$轴垂直于定平台所确定的平面，动平台坐标系的${x_C}$轴平行于${B_{\text{1}}}{B_3}$，${z_C}$轴垂直于动平台所确定的平面. 两自由度串联AC摆头通过DH参数建立坐标系，刀具末端指向为刀具坐标系的$z$轴方向.

2.   运动学逆解解析模型

混联机构的逆解是已知刀具末端点F的坐标${{\boldsymbol{r}}_F} = ({x_f},{y_f},{z_f})$和方向矢量${\boldsymbol{\omega }}$分别关于基坐标系${X_A}$轴和${Y_A}$轴的姿态角为$\alpha$和$\beta$，求解并联部分驱动杆的杆长${l_i}(i = 1,2,3)$和串联部分的驱动角${\theta _1}$和${\theta _2}$.

并联部分为2UPR/UPS/UP，由螺旋理论分析可知，该并联机构具有两转一移的自由度，故${ }_{{C}}^{{O}} \boldsymbol{T}$定义为沿坐标系$\{ O\}$的${Z_O}$轴移动$\lambda$，绕坐标系$\{ A\}$的${Y_A}$轴旋转$\gamma$，绕坐标系$\{ A\}$的${X_A}$轴旋转$\varphi$.

坐标系$\{ O\}$和坐标系$\{ A\}$以及坐标系$\{ B\}$和坐标系$\{ C\}$之间仅存在平移关系，可得

式中：${}_{}^O{\boldsymbol{C}}$为C点的位置矢量；${}_{{C}}^{{O}}{\boldsymbol{R}}$为坐标系$\{ O\}$与坐标系$\{ C\}$的姿态变换关系.

分别对2UPR/UPS/UP+AC五自由度混联机构的并联模块和串联模块进行分析，建立已知量和各驱动关节值之间的关系为

利用式(3)解出$\lambda$、$\gamma$和$\varphi$. 为求出并联模块各支链的杆长，利用闭环矢量法建立关系式为

式中：${{\boldsymbol{\omega }}_i}$为第$i$根支链单位向量；${{\boldsymbol{a}}_i}$为${A_i}$点在基坐标系$\{ O\}$中的位置矢量；${{\boldsymbol{b}}_{\boldsymbol{i}}}$为${B_i}$点在基坐标系$\{ O\}$中的位置矢量，${{\boldsymbol{b}}_i} = {}_{C}^{O}{\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{b}}_{i0}}{{ (i = 1,2,3)}}$ ；${{\boldsymbol{b}}_{i0}}$为${B_i}$点在动坐标系$\{ C\}$中的位置矢量.

对式(4)等式两端分别取模，求得第$i$根支链的杆长和其单位向量为

在串联部分建立DH坐标系，如图1(a)所示. 定义刀尖坐标系，刀柄指向刀尖为z轴方向，由于F和E之间的相对位置是固定的，因此两坐标系之间的齐次变换矩阵是常数矩阵. 根据建立的坐标系确定连杆的参数与变量范围，见表1.

表  1  AC摆的DH参数

Table  1.  DH parameters of AC pendulum

连杆	${\alpha _{i - 1}}$	${a_{i - 1}}$	${d_i}$	${\theta _i}$	变化范围
1(D)	0º	0	m	${\theta _1}$	$\left[ {- {\text{π} },{\text{π} } } \right]$
2(E)	0º	0	0	${\theta _2}$	$\left[ {-{\text{π} } /2,{\text{π} } /2} \right]$
3(F)	90º	0	n	−90º

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根据连杆参数建立串联部分的齐次变换矩阵：${}_F^C{\boldsymbol{T}} = {}_D^C{\boldsymbol{T}}{}_E^D{\boldsymbol{T}}{}_F^E{\boldsymbol{T}}$. 因此，整个混联机构的齐次变换矩阵可以表示为

在混联机器人末端点姿态角$\alpha$、$\beta$已知的情况下，且刀具的单位方向向量${\boldsymbol{\omega }}$与坐标系$\left\{ F \right\}$的${z_f}$轴重合，${\boldsymbol{\omega }}$在$\left\{ O \right\}$坐标系下可有两种表达形式为

式中：${\boldsymbol{z}} = {\left[ {0,0,1} \right]^{\rm{T}}}$.

由式(8)和式(9)可知，刀具单位方向向量在$\left\{ C \right\}$下可表示为

式中：$o = {f_1}(\varphi ,\gamma ,\lambda )$；$p = {f_2}(\varphi ,\gamma ,\lambda )$；$q = {f_3}(\varphi ,\gamma ,\lambda )$.

基于上述串联部分AC摆逆解过程，结合三角函数万能公式，AC摆转角多解为

3.   误差建模

2R1T并联机构的几何误差源是影响混联机器人末端位姿精度的主要因素，故本节重点推导2UPR/UPS/UP并联机构动平台位姿误差与几何误差源的映射关系. 获得2UPR/UPS/UP的有效误差模型需给出各运动支链的运动关系.

考虑A₁到B₁、A₃到B₃、A₄到B₄的变换均为坐标系先绕x轴转动，再绕y轴转动，该转动由定平台U副转角实现，存在运动关系为

UPR支链与UPS支链存在旋转变换关系为

式中：${{\boldsymbol{R}}_{Aix}}$为在某位姿下定平台近架轴线坐标系对应的旋转矩阵；${{\boldsymbol{R}}_{Aiy}}$为在某位姿下定平台远架轴线坐标系对应的旋转矩阵（$i = 1,2,3,4$）；${{\boldsymbol{R}}_{B1y}}$、${{\boldsymbol{R}}_{B3y}}$为在某位姿下动平台R副坐标系对应的旋转矩阵；${{\boldsymbol{R}}_{B2x}}$、${{\boldsymbol{R}}_{B2y}}$、${{\boldsymbol{R}}_{B2z}}$为在某位姿下动平台S副坐标系对应的旋转矩阵.

并联机构动平台位姿误差由运动副的位置误差和姿态误差共同作用，即基于单关节误差模型的推导原理可分别建立支链和并联机构2UPR/UPS/UP的误差模型.

3.1   单关节误差模型

以单关节作为研究对象，结合一阶摄动和封闭矢量法建立单关节误差模型，同时定义被动误差为单关节运动副在其自由度方向的误差；当单关节作为驱动件时，被动误差则为固定偏差.

对于旋转副，每个旋转关节可引入6个独立的几何误差，即实际轴线相对于理论轴线的姿态误差和实际轴线中心位置误差，如图2所示.

图  2  转动关节误差示意图

Figure  2.  Diagram of revolute joint error

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旋转关节的运动学模型即以旋转轴作为坐标轴，在关节处建立连体坐标系，刚体旋转后其上一点在基坐标系中可表示为

式中：${{\boldsymbol{r}}_{{1}}}$为旋转后某点在基坐标系下的空间坐标；${{\boldsymbol{r}}_{0}}$为转动副坐标系在基坐标系下的空间坐标；${\rho }$为该点在转动副坐标系下的空间坐标；${\boldsymbol{R}}$为转动副所表示的旋转矩阵.

对式(15)两端求导可知

式中：${\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}= E$，$\Delta {\boldsymbol{(R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{)}}$$=\Delta {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}+ {\boldsymbol{ R}}\Delta {{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}$$=\Delta {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}+ {\boldsymbol{ (}}\Delta {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{)}}^{\rm{T}}}$，故$\Delta {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}$为反对称矩阵.

对于移动副，每个移动副可引入6个几何误差，即移动副安装位置误差和制造安装产生的姿态偏差，如图3所示.

图  3  移动关节误差示意图

Figure  3.  Diagram of prismatic joint error

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移动关节运动学模型可表示为

式中：${{\boldsymbol{r}}_{{1}}}$为移动后某点在基坐标系下的空间坐标；${{\boldsymbol{r}}_{0}}$为未移动时在基坐标系下的空间坐标；${\boldsymbol{n}}$为移动方向的单位余弦；$l$为移动长度.

对式(17)两端求导可知

由于${\boldsymbol{n}}{{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}}{{ = }}1$恒成立，对其求导可得，$\Delta {\boldsymbol{(}}{{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{n)}}$$\;=\Delta {{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{n }}+ {{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}}\Delta {\boldsymbol{n}}=0$，可知移动副移动方向的偏差$\Delta {\boldsymbol{n}}$与理想移动方向${\boldsymbol{n}}$正交.

3.2   支链误差模型

由单关节误差模型和运动副位置关系建立支链误差模型. 如图4所示，UPR支链U副近架轴线坐标系${A_{1x}} - {x_{A1x}}{y_{A1x}}{z_{A1x}}$：${x_{A1x}}$轴与U副近架轴线重合，${z_{A1x}}$轴与${L_{A1x}}$方向重合，${y_{A1x}}$轴方向满足右手定则；远架轴线坐标系${A_{1y}} - {x_{A1y}}{y_{A1y}}{z_{A1y}}$：${y_{A1y}}$轴与U副近架轴线重合，${x_{A1y}}$轴与${L_{A1y}}$方向重合，${z_{A1y}}$轴方向满足右手定则.

图  4  UPR支链坐标系示意图

Figure  4.  Diagram of UPR branch chain coordinate system

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以UPR支链为例，支链3个转动副和1个移动副，基于单关节误差模型，支链存在24项误差源，UPR支链的误差项信息见表2.

表  2  UPR支链几何误差定义

Table  2.  Geometric error definition of UPR branch chain

几何误差源	误差含义	备注
Δa1= (Δxa1, Δya1, Δza1)	U1副近架轴线位置误差	在系{O}下
ΔθA1x = (ΔθA1xx, ΔθA1xy, ΔθA1xz)	U1副近架轴线姿态误差	在系{O}下
Δa1x= (Δxa1x, Δya1x, Δza 1x)	U1副近架轴线与远 架轴线间位置误差	在系{A1x}下
ΔθA1y = (ΔθA1yx, ΔθA1yy, ΔθA1yz)	U1副远架轴线姿态误差	在系{A1x}下
Δa1y= (Δxa1y, Δya1y, Δza1y)	U1副远架轴线与支 链轴线间位置误差	在系{A1y}下
Δl1= (Δxl1, Δyl1, Δzl1)	支链移动方向误差	在系{A1y}下
ΔθB1y = (ΔθB1yx, ΔθB1yy, ΔθB1yz)	R1副旋转轴线姿态误差	在系{A1y}下
Δb1= (Δxb1, Δyb1, Δzb1)	动平台铰链点B1的位置误差	在系{C}下

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UPR支链部分运动副的几何误差项会与被动误差发生耦合，可由被动误差的线性组合表示，即这部分结构误差对终端误差没有影响，可以忽略；近架轴线与远架轴线的位置误差在X轴方向耦合，同理远架轴线与支链轴线位置误差在Y轴方向耦合，因此支链误差模型不考虑$\Delta {\theta _{A1yx}}$、$\Delta {x_{a1x}}$、$\Delta {y_{a1y}}$. $\Delta {{l}_{1}}$与$\Delta {{{\boldsymbol{a}}}_{{1y}}}$、$\Delta {{{\boldsymbol{b}}}_{1}}$耦合，$\Delta {{l}_{1}}$为非独立误差项， UPR支链误差示意图如图5所示.

图  5  UPR支链几何误差示意图

Figure  5.  Geometric error diagram of UPR branch chain

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在仅考虑一阶线性摄动情况下，UPR支链的闭环矢量方程可表示为

其中，$\Delta \boldsymbol{\theta}_{A 1 X}^{\wedge}$、 $\Delta \boldsymbol{\theta}_{A 1 Y}^{\wedge}$ 为反对称矩阵.

UPS支链中S副的被动误差可通过线性组合表示为U副和S副的轴线在非自由度方向上的误差项，不考虑$\Delta {\theta _{A2yx}}$、$\Delta {\theta _{A2yz}}$、$\Delta {\theta _{B2xy}}$、$\Delta {\theta _{B2xz}}$、$\Delta {\theta _{B2yz}}$、$\Delta {\theta _{B2zx}}$，且S副各轴线间的位置误差等效为B₂点的铰链点误差$\Delta {{\boldsymbol{b}}_{{2}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {x_{b2}}}&{\Delta {y_{b2}}}&{\Delta {z_{b2}}} \end{array}} \right]$. UP支链为被动约束支链，B₄点位置误差非独立，考虑杆长移动方向误差$\Delta {{l}_{4}}$，$\Delta {z_{a4y}}$与$\Delta {z_{l4}}$耦合，不考虑$\Delta {z_{a4y}}$.

3.3   2UPR/UPS/UP机构的误差模型

并联机构运动的有效性和连续性约束了误差源间的关系. 2UPR/UPS/UP并联机构运动条件：1）三支链U副近架轴线共轴，$\Delta {{\boldsymbol{\theta }}_{{A_1}}}=\Delta {{\boldsymbol{\theta }}_{{A_3}}}=\Delta {{\boldsymbol{\theta }}_{{A_4}}} = \left( {\Delta {\theta _{Axx}}{\text{ ; }}\Delta {\theta _{Axy}}{\text{ ; }}\Delta {\theta _{Axz}}} \right)$，位置误差与轴线姿态误差紧密相关，在共轴的前提下，$\Delta {y_{a1}}$、$\Delta {y_{a4}}$和$\Delta {y_{a3}}$之中仅存在两项独立误差项，同理，$\Delta {z_{a1}}$、$\Delta {z_{a4}}$和$\Delta {z_{a3}}$之中有一项非独立误差源，故不考虑UPR支链近架轴线的中心位置在Y轴方向的偏差$\Delta {y_{a3}}$和在Z轴方向的偏差$\Delta {z_{a3}}$；2）2UPR/UP三支链在运动过程中保持共面， 即$\Delta {y_{a1x}}$、$\Delta {y_{a3x}}$、$\Delta {y_{a4x}}$、$\Delta {y_{b1}}$和$\Delta {y_{b3}}$为0；3）2UPR/UP中U副远架轴线与R副转动轴线保持平行，$\Delta {\theta _{A1yz}} = \Delta {\theta _{A3yz}} = \Delta {\theta _{A4yz}} = \Delta {\theta _{B1yz}} = \Delta {\theta _{B3yz}} = \Delta {\theta _{AByz}}$且$\Delta {\theta _{B1yx}} = \Delta {\theta _{B3yx}} = 0$.

故2UPR/UPS/UP并联机构的几何误差模型可描述为

其中，$\Delta {\boldsymbol{c}}$ 、$\Delta {\boldsymbol{\omega }}$为2UPR/UPS/UP并联机构动平台在世界坐标系下的位置和姿态误差.

上述并联机构的几何误差模型中，独立的被动误差有$\Delta {\theta _{Ax{\text{x}}}}$ 、$\Delta {\theta _{A2x{\text{x}}}}$ 、$\Delta {\theta _{A1{\text{yy}}}}$、$\Delta {\theta _{A2yy}}$、$\Delta {\theta _{A3yy}}$、$\Delta {\theta _{A4yy}}$、$\Delta {\theta _{B1yy}}$、$\Delta {\theta _{B3yy}}$、$\Delta {\theta _{B2xx}}$、$\Delta {\theta _{B2yy}}$、$\Delta {\theta _{B2zz}}$、$\Delta {z_{{l_4}}}$ 共12项，独立的结构姿态误差有$\Delta {\theta _{Axy}}$、$\Delta {\theta _{Ax{\text{z}}}}$、$\Delta {\theta _{AByz}}$、$\Delta {x_{l4}}$、$\Delta {y_{l4}}$共5项，独立的结构位置误差有$\Delta {x_{a1}}$、$\Delta {y_{a1}}$、$\Delta {z_{a1}}$、$\Delta {x_{a2}}$、$\Delta {y_{a2}}$、$\Delta {z_{a2}}$、$\Delta {x_{a3}}$、$\Delta {x_{a4}}$、$\Delta {y_{a4}}$、$\Delta {z_{a4}}$、$\Delta {z_{{a_{1x}}}}$、$\Delta {z_{{a_{3x}}}}$、$\Delta {z_{{a_{4x}}}}$、$\Delta {x_{{a_{2y}}}}$、$\Delta {z_{{a_{2y}}}}$、$\Delta {x_{a1y}}$、$\Delta {z_{a1y}}$、$\Delta {y_{a2x}}$、$\Delta {z_{a2x}}$、$\Delta {x_{a3y}}$、$\Delta {z_{a3y}}$、$\Delta {x_{a4y}}$、$\Delta {x_{{b_1}}}$、$\Delta {z_{{b_1}}}$、$\Delta {x_{{b_2}}}$、$\Delta {y_{{b_2}}}$、$\Delta {z_{{b_2}}}$、$\Delta {x_{{b_3}}}$、$\Delta {z_{{b_3}}}$共29项.

在并联机构的几何误差模型中，模型可以描述为18个独立无关的线性方程，通过整理误差项和对应的系数项可改写为

其中

基于机构运动学逆解解析模型，M₁和M₂矩阵可通过各关节转角以及位移状态表示，由矩阵的基础运算法则可得

本节推导动平台中心点位姿误差与并联机构中运动副几何误差源间的映射关系，故取式(26)中误差映射矩阵的前六列可得

$\left[ {{\boldsymbol{J}}_{C}^{};{\boldsymbol{J}}_{\omega }^{}} \right]$反映了动平台位置误差和姿态误差与独立几何误差源之间的映射关系.

4.   误差灵敏度仿真分析

建立机构的误差模型是进行参数辨识的基础，但影响机构末端位姿精度的误差源有34项，逐一辨识复杂、繁琐且运算量大，故建立几何误差灵敏度模型，仿真分析各误差源对动平台末端位置精度的影响^[23-24]. 对于$\Delta {{\boldsymbol{P}}_{2}}$中的误差项，定义其在某末端位置下的灵敏度：仅有$\Delta {{\boldsymbol{P}}_{2}}$中的误差项发生变化时，所引起的末端位姿误差的大小. 误差辨识矩阵的列向量能反映考虑的误差源对末端位置误差3个方向上的影响大小，误差映射矩阵中列向量的2范数综合考虑几何误差源对末端位置误差3个方向的影响，故在某末端位姿下的灵敏度$\eta$可表示为

灵巧工作空间向内缩小20%的工作空间为该机器人性能均衡的工作空间，故基于机构反解模型， 80%的灵巧工作空间是一个$\phi 720 \times 160$的圆柱，选其覆盖圆柱内外的4000个位姿点，其轨迹方程为

利用Matlab软件作出2UPR/UPS/UP并联机构动平台中心点的位置工作空间$\phi 720 \times 160$中的离散点，如图6所示.

图  6  任务空间的离散点图

Figure  6.  Discrete point diagram of task space

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混联机器人的定平台与动平台理想情况下为等边三角形，定、动平台的外接圆半径分别为$a = 320\sqrt 3 \;{\rm{mm}}$和$b = 320/\sqrt 3\; {\rm{mm}}$，杆长参数见表3.

表  3  并联机构杆长参数

Table  3.  Rod length parameters of parallel mechanism

参数	${l_1}/{\rm{mm}}$	${l_2}/{\rm{mm}}$	${l_3}/{\rm{mm}}$
Min	881	881	881
Max	1481	1481	1481

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在不同位姿点下，基于上述结构参数求解各误差源的灵敏度系数均值，位置误差和姿态误差灵敏度均值直方图如图7和图8所示.

图  7  位置误差灵敏度均值

Figure  7.  Mean sensitivity of position error

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图  8  姿态误差灵敏度均值

Figure  8.  Mean sensitivity of attitude error

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由图7可以看出，位置误差$\Delta {z_{a4}}$为UP支链近架轴线中心位置在Z轴方向的误差，该误差项敏感性高，即当该几何误差源产生0.1 mm的制造或装配偏差时，动平台中心点产生位置误差0.273 2 mm.

由图8可以看出，姿态误差对末端位置精度的影响大，$\Delta {x_{l4}}$代表UP支链的导轨在X轴方向上的安装误差，即当该几何误差源产生0.1°的制造或装配偏差时，动平台中心点产生0.639 1 mm的偏差.

误差灵敏度仿真分析筛选出对动平台位置误差影响较大的10项误差源，简化参数辨识的复杂度，提高参数辨识的效率，对2UPR/UPS/UP并联机构制造安装精度的分配具有指导意义.

5.   结　语

本研究推导了新型五自由度混联机器人2UPR/UPS/UP+AC摆运动学逆解解析模型，奠定了机构误差模型和误差灵敏度仿真分析的运动学基础；基于单关节误差模型，定义机构各支链的全误差，基于被动误差与结构误差的耦合关系，消除非独立误差项；基于并联机构的运动条件对相关误差项的限制，建立动平台位姿误差与独立几何误差源的映射关系，为误差参数辨识提供理论基础；误差灵敏度仿真分析筛选出对末端位置误差影响较大的误差源，以提高参数辨识的效率，并指导机构的制造安装精度，同时对其他并混联机构的精度研究具有借鉴意义. 具体研究成果如下：

1）建立2UPR/UPS/UP并联机构的逆解解析模型和误差模型，为轨迹规划和参数辨识奠定理论基础；

2）误差灵敏度仿真分析从29项位置误差中筛选出10项灵敏度高的误差源，提高了参数辨识的效率，同时对该机构的工程设计提供指导意义.