2UPR/UPS/UP并联机构的动力学建模与仿真

陈文波; 陈伟杰; 岳义; 韦宝琛; 崔国华; 潘颖

doi:10.12299/jsues.21-0265

2UPR/UPS/UP并联机构的动力学建模与仿真

doi: 10.12299/jsues.21-0265

上海工程技术大学机械与汽车工程学院, 上海 201620

基金项目: 国家自然科学基金项目资助(51905337、51775165)；上海市科委地方能力建设项目资助(18030501200)

详细信息

作者简介:
陈文波（1996−），男，在读硕士，研究方向为混联机器人与机构学. E-mail:17862517167@163.com

中图分类号: TH112
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出版历程
- 收稿日期: 2021-11-24
- 刊出日期: 2022-06-30

Dynamic modeling and simulation of 2UPR/UPS/UP parallel mechanism

School of Mechanical and Automotive Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China

摘要

摘要:
以一种具有空间三自由度的2UPR/UPS/UP冗余并联机构为研究对象，根据机构的约束条件建立各支链的闭环约束矢量方程，求得机构的位置反解并得到雅可比矩阵. 根据运动学分析，得到3个驱动支链的变化规律，方便实现对机构的位姿控制. 在此基础上，利用虚功原理对机构的动力学进行分析，建立该机构的动力学模型. 最后，在典型工况下对机构的运动学和动力学分别进行Matlab算例仿真与Adams样机仿真，通过对比仿真结果验证运动学和动力学模型的正确性. 该方法为并联机构的设计和控制奠定理论基础，同时适用于类似机构的研究与分析.
- 并联机构 /
- 运动学 /
- 逆动力学 /
- 虚功原理
Abstract:
The 2UPR/UPS/UP redundant parallel mechanism (PM) with three degrees of freedom was taken as the research object. According to constraint conditions of this PM, the inverse solution of position and the Jacobian matrix were solved by establishing closed-loop vector equation of each branch. Based on kinematics analysis, the regular pattern of three driving branches was obtained to be convenient to achieve the position and orientation control of this PM. Based on the above conditions, the dynamics of this PM was developed by using the virtual work principle, and the dynamics model was established. Finally, the simulation of mechanism kinematics and dynamics were implemented by applying Matlab and Adams software under typical working conditions. The simulation results can testify the validity of the kinematics and dynamics model. The method lays a theoretical foundation for the design and control of this PM and is fit for the research and analysis of similar mechanisms.
- parallel mechanism /
- kinematics /
- inverse dynamics /
- virtual work principle

HTML全文

与六自由度并联机构相比，少自由度并联机构具有构件和运动副少、结构简单、刚度高、易于控制的特点，其中具有两转一移（2R1T）的三自由度并联机构是少自由度并联机构中最重要的一类^[1-4]. 这类机构已成功应用于五自由度混联机器人的研制，并在航空航天领域获得成功应用^[5].

并联机构的运动学模型是机器人优化设计、动力学分析的基础，其求解方法分为数值法和解析法. 数值法通常是利用迭代优化求解非线性方程组，一般包括牛顿−拉弗森法^[6-7]、斯特芬森法^[8]以及梯度下降法^[9]，其特点是具有通用性，但精度取决于初始值，并且一般得不到全部解，难以实现在线控制. 解析法是根据机构的结构特征利用封闭矢量法建立约束方程，使用代数公式法消去机构约束方程组的中间参数获得高阶多项式，然后采用代数消去^[10]、区间分析^[11]、连续方法^[12]等技术得到多项式的根，其特点是能够得到机构的全部解并且精度高，求解速度快. 为实现并联机构在线实时控制，本研究利用封闭矢量法建立运动学逆解模型.

动力学是并联机构控制、结构设计、驱动器选型的基础，并联机构动力学建模方法包括牛顿−欧拉法、拉格朗日法、虚功原理、凯恩方程等. 陈修龙等^[13]采用拉格朗日乘子法建立动力学模型，并对4-UPS/RPS冗余并联机构进行动力学建模与分析；Xin等^[14]利用拉格朗日与虚功原理相结合的方法建立空间三自由度并联机器人的动力学模型；Liu等^[15]利用拉格朗日方法建立3−RRC动力学方程；Xie等^[16]利用虚功原理建立2−PSS−(2−PRR−PR) R并联机构的动力学方程，并引入两个动力学指标对其动态性能进行分析；王潇剑等^[17]根据约束关系求解2UPU/SP并联机构的运动学方程，利用虚功原理建立动力学方程，并对其动力学性能进行分析；Wu等^[18]基于凯恩法建立6−SPS并联机构的刚体逆动力学方程，并利用仿真和试验相互验证. 上述方法中，牛顿−欧拉法建模过程中会出现大量的约束力和约束力矩，建模过程复杂^[19]；拉格朗日法建模虽然可以规避很多不需要的反作用力，简化系统的动力学分析，但需要对动力学函数进行偏微分运算，计算量大，不便于实时控制；虚功原理避开了约束力/力矩的计算，直接利用雅可比矩阵和惯性矩阵建立关节驱动力/力矩与操作端运动之间的关系，大幅减少计算量，计算速度快，因此本研究采用虚功原理建立该机构的动力学方程.

本研究针对一种2UPR/UPS/UP三自由度并联机构，根据其运动特性建立该机构的约束方程并利用封闭矢量法得到运动学逆解模型，利用虚功原理推导出并联机构的动力学模型. 然后在典型工况下进行Matlab数学仿真和Adams虚拟样机仿真对比，验证分析方法以及数学模型的正确性，为该机构的动力学分析、设计以及控制奠定基础.

1. 机构模型描述

本研究提出一种2UPR/UPS/UP冗余并联机构，如图1所示. 该并联机构由动平台、定平台和4条支链组成. 动平台和定平台呈等边三角形，4条支链中第1条和第3条为UPR支链，上端通过转动副与动平台连接，下端通过虎克铰与定平台连接；第2条支链为UPS支链，上端通过球副与动平台连接，下端通过虎克铰与定平台连接；第4条支链为UP被动支链，上端与动平台固接，并且始终垂直于动平台，下端通过虎克铰与定平台连接.

图 1 并联机器人坐标系简图

Figure 1. Coordinate system diagram of parallel robot

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在动平台和定平台分别建立基坐标系{A}− ${x_A}{y_A}{z_A}$ 和动坐标系{B} $- {x_B}{y_B}{z_B}$ ，定平台坐标系的 ${x_A}$ 轴平行于 ${A_1}{A_{\text{3}}}$ ， ${z_A}$ 轴垂直于定平台所确定的平面，动平台坐标系的 ${{\text{{\rm{x}}}}_B}$ 轴平行于 ${B_{\text{1}}}{B_3}$ ， ${z_B}$ 轴垂直于动平台所确定的平面，坐标系{C} $- {x_c}{y_c}{z_c}$ 的姿态与坐标系{B}相同，其原点位于动平台中心.

2. 运动学分析

2.1 位置分析

第4支链上端与动平台固接，下端通过虎克铰与定平台相连，坐标系{B}可通过坐标系{A}先平移然后旋转两次得到，因此 ${}_B^A{\boldsymbol{T}}$ 可以定义为沿基坐标系{A}的 ${Z_A}$ 轴移动 $\lambda$ ，绕基坐标系{A}的 ${Y_A}$ 轴旋转 $\gamma$ ，绕基坐标系{A}的 ${X_A}$ 轴旋转 $\varphi$ ，公式为

${}_B^A{\boldsymbol{T}} = {\rm{Rot}}(x,\varphi ){{\rm{Rot}}}(y,\gamma ){{\rm{Tran}}}(z,\lambda )$

(1)

由于坐标系{C}和坐标系{B}之间仅存在平移关系，可得

${}_C^A{\boldsymbol{T}} = {}_B^A{\boldsymbol{T}}{}_C^B{\boldsymbol{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {_C^A{\boldsymbol{R}}}&{^A{\boldsymbol{C}}}\\ 0&1 \end{array}} \right]{\rm{ }}$

(2)

其中

${}_C^A{\boldsymbol{R}}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c\gamma }&0&{s\gamma }\\ {s\varphi s\gamma }&{c\varphi }&{ - c\gamma s\varphi }\\ { - c\varphi s\gamma }&{s\varphi }&{c\gamma c\varphi } \end{array}} \right]$

${}^A{\boldsymbol{C}}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda sy}\\ {a/2 - bc\varphi /2 - \lambda cys\varphi }\\ {\lambda cyc\varphi - bs\varphi /2} \end{array}} \right]$

由齐次变换矩阵的意义可知， ${}^A{\boldsymbol{C}}$ 与C点在基坐标系{A}中的位置矢量 ${{\boldsymbol{r}}_C}$ 相等，可得

$\left[ \begin{gathered} {x_C} \\ {y_C} \\ {z_C} \\ \end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda sy}\\ {a/2 - bc\varphi /2 - \lambda cys\varphi }\\ {\lambda cyc\varphi - bs\varphi /2} \end{array}} \right]$

(3)

通过式（1）至（3）可以得到动平台的位姿表达. 为求出各支链的杆长，利用闭环矢量法建立关系式为

${}^{A}{\boldsymbol{C}}={{\boldsymbol{a}}}_{i}+{{{l}}}_{i}{{\boldsymbol{l}}}_{i}-{{\boldsymbol{b}}}_{i}\;\;(i=1,2,3)$

(4)

式中： ${}^A{\boldsymbol{C}}$ 为C点的位置矢量； ${l_i}$ 和 ${{\boldsymbol{l}}_i}$ 分别为第 $i$ 根支链的杆长和其单位向量； ${{\boldsymbol{a}}_i}$ 为 ${A_i}$ 点在基坐标系{A}中的位置矢量； ${{\boldsymbol{b}}_i}$ 为 ${B_i}$ 点在基坐标系{A}中的位置矢量； ${{\boldsymbol{b}}_{i0}}$ 为 ${B_i}$ 点在动坐标系{B}中的位置矢量.

对式(4)两端分别取模，求得第 $i$ 根支链的杆长和其单位向量为

${l_i} = \parallel {}_{}^A{\boldsymbol{C}} + {{\boldsymbol{b}}_i} - {{\boldsymbol{a}}_i}\parallel$

(5)

${{\boldsymbol{l}}_i} = \frac{{{}_{}^A{\boldsymbol{C}} + {{\boldsymbol{b}}_i} - {{\boldsymbol{a}}_i}}}{{\parallel {}_{}^A{\boldsymbol{C}} + {{\boldsymbol{b}}_i} - {{\boldsymbol{a}}_i}\parallel }}$

(6)

2.2 速度与加速度分析

对式(4)关于时间求导得

${{\boldsymbol{v}}_C} = {v_{li}}{{\boldsymbol{l}}_i} + {l_i}({{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {{\boldsymbol{l}}_i}) - {\boldsymbol{\omega }} \times {{\boldsymbol{b}}_i}$

(7)

式中： ${\boldsymbol{\omega }}$ 为动平台的角速度矢量； ${{\boldsymbol{\omega }}_i}$ 为固定坐标系中支链 $i$ 的角速度； ${{\boldsymbol{v}}_C}$ 为参考点C的线速度矢量； ${v_{li}}$ 为第 $i$ 支链的P副的关节速度.

为消除 ${{\boldsymbol{\omega }}_i}$ ，对式(7)两端同时乘以 ${{\boldsymbol{l}}_i}$ 可得

${v_{li}} = {({{\boldsymbol{b}}_i} \times {{\boldsymbol{l}}_i})^{\rm{T}}}{\boldsymbol{\omega }} + {\boldsymbol{l}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{v}}_c}$

(8)

将式(8)写成矩阵的形式可得

${{\boldsymbol{v}}_l} = {{\boldsymbol{J}}_m}\left[ \begin{gathered} {{\boldsymbol{v}}_C} \\ {\boldsymbol{\omega }} \\ \end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered} {\boldsymbol{l}}_1^{\rm{T}}{\text{ }}{({{\boldsymbol{b}}_1} \times {{\boldsymbol{l}}_1})^{\rm{T}}} \\ {\boldsymbol{l}}_2^{\rm{T}}{\text{ }}{({{\boldsymbol{b}}_2} \times {{\boldsymbol{l}}_2})^{\rm{T}}} \\ {\boldsymbol{l}}_3^{\rm{T}}{\text{ }}{({{\boldsymbol{b}}_3} \times {{\boldsymbol{l}}_3})^{\rm{T}}} \\ \end{gathered} \right]\left[ \begin{gathered} {{\boldsymbol{v}}_C} \\ {\boldsymbol{\omega }} \\ \end{gathered} \right]$

(9)

由式（3）可知， $\gamma 、\varphi 、\lambda$ 都是关于 ${x}_{C}、{y}_{C}、{z}_{C}$ 的函数，因此 $\lambda 、\gamma 、\varphi$ 的变化速率可由 ${{\boldsymbol{r}}_C}$ 的变化速率表示为

${{\boldsymbol{v}}_g} = {{\boldsymbol{J}}_g}{{\boldsymbol{v}}_C}$

(10)

其中

${{\boldsymbol{v}}_g} = \left[ \begin{gathered} {\dot \gamma } \\ {\dot \varphi } \\ {\dot \lambda } \\ \end{gathered} \right],{{\boldsymbol{J}}_g} = \left[ \begin{gathered} \frac{{\partial \gamma }}{{\partial x}}{\text{ }}\frac{{\partial \gamma }}{{\partial y}}{\text{ }}\frac{{\partial \gamma }}{{\partial z}} \\ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}{\text{ }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}{\text{ }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} \\ \frac{{\partial \gamma }}{{\partial x}}{\text{ }}\frac{{\partial \gamma }}{{\partial y}}{\text{ }}\frac{{\partial \gamma }}{{\partial z}} \\ \end{gathered} \right],{{\boldsymbol{v}}_C} = \left[ \begin{gathered} {{\dot x}_C} \\ {{\dot y}_C} \\ {{\dot z}_C} \\ \end{gathered} \right]$

动平台的角速度可以表示为

${\boldsymbol{\omega }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{c\varphi }&0\\ 0&{s\varphi }&0 \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {\dot \gamma } \\ {\dot \varphi } \\ {\dot \lambda } \\ \end{gathered} \right] = {{\boldsymbol{J}}_m}{{\boldsymbol{v}}_g}$

(11)

将 ${{\boldsymbol{v}}_g} = {{\boldsymbol{J}}_g}{{\boldsymbol{v}}_C}$ 带入式(11)可得

${\boldsymbol{\omega }} = {{\boldsymbol{J}}_m}{{\boldsymbol{J}}_g}{{\boldsymbol{v}}_C} = {{\boldsymbol{J}}_\omega }{{\boldsymbol{v}}_C}$

(12)

将式(12)带入式(8)并写成矩阵形式，可以得到机构关节速度与参考点速度的映射关系为

${{\boldsymbol{v}}_l} = {\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{v}}_C}$

(13)

其中

${{\boldsymbol{v}}_l} = \left[ \begin{gathered} {{\dot l}_1} \\ {{\dot l}_2} \\ {{\dot l}_3} \\ \end{gathered} \right] \text{，} {\boldsymbol{J}} = \left[ \begin{gathered} {\boldsymbol{l}}_1^{\rm{T}} + {({{\boldsymbol{b}}_1} \times {{\boldsymbol{l}}_1})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ {\boldsymbol{l}}_2^{\rm{T}} + {({{\boldsymbol{b}}_2} \times {{\boldsymbol{l}}_2})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ {\boldsymbol{l}}_3^{\rm{T}} + {({{\boldsymbol{b}}_3} \times {{\boldsymbol{l}}_3})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ \end{gathered} \right]$

因为支链1、2和3不能绕着其转轴转动，因此 ${\boldsymbol{\omega }}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{l}}_i} = 0{\text{ }}(i = 1,2,3)$ ，在式(8)两边同时叉乘 ${{\boldsymbol{l}}_i}$ 并整理可以得到

${{\boldsymbol{\omega }}_i} = \frac{1}{{{l_i}}}({{\boldsymbol{l}}_i} \times {{\boldsymbol{\dot r}}_C} + ({\boldsymbol{l}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{b}}_i}{\boldsymbol{E}} - {{\boldsymbol{b}}_i}{\boldsymbol{l}}_i^{\rm{T}}){\boldsymbol{\omega }}) = {{\boldsymbol{J}}_{\omega i}}{{\boldsymbol{\dot r}}_C}$

(14)

式中：E为 $3 \times 3$ 单位矩阵.

对式(12)两边关于时间求导，可以得到动平台的角加速度为

${\boldsymbol{\dot \omega }} = {{\boldsymbol{J}}_\omega }{{\boldsymbol{\dot v}}_C} + {{\boldsymbol{\dot J}}_\omega }{{\boldsymbol{v}}_C}$

(15)

其中， ${{\boldsymbol{\dot J}}_\omega } = {{\boldsymbol{\dot J}}_m}{{\boldsymbol{J}}_g} + {{\boldsymbol{\dot J}}_g}{{\boldsymbol{J}}_m}$ .

${{\boldsymbol{J}}_m}$ 和 ${{\boldsymbol{J}}_g}$ 中各项都是关于 ${x}_{C}、{y}_{C}、{z}_{C}$ 的函数，同时 ${x}_{C}、{y}_{C}、{z}_{C}$ 是关于时间的函数.

对式(13)两边关于时间求导，可以得到动平台的线加速度为

${{\boldsymbol{\dot v}}_l} = {\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{\dot v}}_C} + {\boldsymbol{\dot J}}{{\boldsymbol{v}}_C}$

(16)

其中

$\begin{split} \begin{gathered} {\boldsymbol{\dot J}} = \left[ \begin{gathered} ({{\boldsymbol{\omega }}_1} \times {{\boldsymbol{l}}_1}{\text{ )}}{{\text{ }}^{\rm{T}}} \\ ({{\boldsymbol{\omega }}_2} \times {{\boldsymbol{l}}_2}{\text{ )}}{{\text{ }}^{\rm{T}}} \\ ({{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {{\boldsymbol{l}}_3}{\text{ )}}{{\text{ }}^{\rm{T}}} \\ \end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered} {{\text{((}}{\boldsymbol{\omega }} \times {{\boldsymbol{b}}_1}) \times {{\boldsymbol{l}}_1})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ {{\text{((}}{\boldsymbol{\omega }} \times {{\boldsymbol{b}}_2}) \times {{\boldsymbol{l}}_2})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ {{\text{((}}{\boldsymbol{\omega }} \times {{\boldsymbol{b}}_3}) \times {{\boldsymbol{l}}_3})^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } \\ \end{gathered} \right]+ \\ \;{\text{ }} \left[ \begin{gathered} {{\text{(}}{{\boldsymbol{b}}_1} \times {\text{ (}}{{\boldsymbol{\omega }}_1} \times {{\boldsymbol{l}}_1}))^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } + {({{\boldsymbol{b}}_1} \times {{\boldsymbol{l}}_1})^{\rm{T}}}{{{\boldsymbol{\dot J}}}_\omega } \\ {{\text{(}}{{\boldsymbol{b}}_2} \times {\text{ (}}{{\boldsymbol{\omega }}_2} \times {{\boldsymbol{l}}_2}))^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } + {({{\boldsymbol{b}}_2} \times {{\boldsymbol{l}}_2})^{\rm{T}}}{{{\boldsymbol{\dot J}}}_\omega } \\ {{\text{(}}{{\boldsymbol{b}}_3} \times {\text{ (}}{{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {{\boldsymbol{l}}_3}))^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{J}}_\omega } + {({{\boldsymbol{b}}_3} \times {{\boldsymbol{l}}_3})^{\rm{T}}}{{{\boldsymbol{\dot J}}}_\omega } \\ \end{gathered} \right] . \\ \end{gathered} \end{split}$

2.3 质心位置的速度与加速度分析

假设各支链质心到动平台各铰链点的距离为 ${l_{ei}}$ ，各驱动杆的质心位置、速度和加速度分别用 ${{\boldsymbol{r}}}_{ei}、 {{\boldsymbol{v}}}_{ei}、{\dot{{\boldsymbol{v}}}}_{ei}$ 表示，则各杆质心处的位置为

${{\boldsymbol{r}}_{ei}} = {{\boldsymbol{a}}_i} + ({l_i} - {l_{ei}}){{\boldsymbol{l}}_i}$

(17)

对式(17)两边关于时间求导，得到各杆质心的速度为

${{\boldsymbol{v}}_{ei}} = {{\boldsymbol{J}}_{vei}}{{\boldsymbol{v}}_C}$

(18)

其中： ${{\boldsymbol{J}}_{vei}} = {{\boldsymbol{l}}_i}{{\boldsymbol{J}}_i} - ({l_i} - {l_{ei}})\left[ {{{\boldsymbol{l}}_i} \times } \right]{{\boldsymbol{J}}_{\omega i}}$ ， ${{\boldsymbol{J}}_i}$ 为矩阵 ${\boldsymbol{J}}$ 的第 $i$ 行.

对式(18)两边关于时间求导，得到各杆质心处的加速度为

${{\boldsymbol{\dot v}}_{ei}} = {{\boldsymbol{J}}_{vei}}{{\boldsymbol{\dot v}}_C} + {{\boldsymbol{\dot J}}_{vei}}{{\boldsymbol{v}}_C},i = 1,2,3$

(19)

其中： ${{{\boldsymbol{\dot J}}}_{vei}}\; = \;({{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {{\boldsymbol{l}}_i}){{\boldsymbol{J}}_i} \;+\; {{\boldsymbol{l}}_i}{{{\boldsymbol{\dot J}}}_i}\; +\; {{\boldsymbol{v}}_{li}}[{{\boldsymbol{l}}_i} \times ]{{\boldsymbol{J}}_{\omega i}} \;-\; ({l_i}\; - {l_{ei}})\cdot ([({{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {{\boldsymbol{l}}_i}) \times ] {{\boldsymbol{J}}_{\omega i}} + [{{\boldsymbol{l}}_i} \times ]{{{\boldsymbol{\dot J}}}_{\omega i}})$ ， ${{\boldsymbol{J}}_i}$ 为矩阵 ${\boldsymbol{J}}$ 的第 $i$ 行.

3. 并联机构动力学建模

设动平台的质量为 ${{\boldsymbol{m}}_C}$ ，作用于动平台质心处的外力和外力矩分别为 ${{\boldsymbol{f}}}_{c}、{{\boldsymbol{n}}}_{c}$ ， ${{\boldsymbol{f}}}_{c}、{{\boldsymbol{n}}}_{c}$ 分别为在定坐标系下的表达，其中 ${{\boldsymbol{f}}}_{C}={\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{f}}}_{c}、{{\boldsymbol{n}}}_{C}={\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{n}}}_{c}$ .

动平台质心所受到的力和力矩可表示为

${{\boldsymbol{F}}_C} = \left[ \begin{gathered} {{\boldsymbol{f}}_C} + {{\boldsymbol{m}}_C}g - {{\boldsymbol{m}}_C}{{{\boldsymbol{\dot v}}}_C} \\ {{\boldsymbol{n}}_C} - {{\boldsymbol{I}}_C}{\boldsymbol{\omega }} - {\boldsymbol{\omega }} \times ({{\boldsymbol{I}}_C}{\boldsymbol{\omega }}) \\ \end{gathered} \right]$

(20)

当支链仅受重力时，各支链作用于支链质心上的力和力矩可表示为

${{\boldsymbol{F}}_{li}} = \left[ \begin{gathered} \;\;{\text{ }}{{\boldsymbol{m}}_{li}}g - {{\boldsymbol{m}}_{li}}{{{\boldsymbol{\dot v}}}_{ei}} \\ - {{\boldsymbol{I}}_{li}}{{{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} - {{\boldsymbol{\omega }}_i} \times ({{\boldsymbol{I}}_{li}}{{\boldsymbol{\omega }}_i}) \\ \end{gathered} \right]$

(21)

式中： ${{\boldsymbol{m}}_{li}}$ 为驱动杆的质量； $g$ 为重力加速度； ${{\boldsymbol{I}}_{li}}$ 为支链质心在固定坐标系下的惯性矩阵. ${{\boldsymbol{I}}_{li}} = {{\boldsymbol{R}}_i}{\boldsymbol{I}}_{li}'{\boldsymbol{R}}_i^{\rm{T}}$ ，其中： ${\boldsymbol{I}}_{li}'$ 为质心在其惯性主轴坐标系中关于质心的惯性矩阵.

由式(20)、(21)应用虚功原理建立机构的动力学方程为

$\delta {\boldsymbol{x}}_C^{\rm{T}}{\rm{}}{{\boldsymbol{F}}_C} + \delta {{\boldsymbol{q}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{f}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\delta {\boldsymbol{x}}_{li}^{\rm{T}}} {{\boldsymbol{F}}_{li}} = 0$

(22)

式中： $\delta {{\boldsymbol{x}}_C}$ 为动平台的虚位移； ${\boldsymbol{f}}$ 为驱动力； $\delta {\boldsymbol{q}}$ 为驱动力虚位移； $\delta {{\boldsymbol{x}}_{li}}$ 为 ${{\boldsymbol{F}}_{li}}$ 对应的虚位移.

根据机构本身的几何约束关系可知

$\left\{ \begin{gathered} \delta {\boldsymbol{q}} = {\boldsymbol{J}}\delta {{\boldsymbol{x}}_C} \\ \delta {{\boldsymbol{x}}_{li}} = {{\boldsymbol{J}}_{li}}\delta {{\boldsymbol{x}}_C} \end{gathered}\right.$

(23)

将式(23)代入式(22)并整理可得

${{\boldsymbol{F}}_C} + {{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{f}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\boldsymbol{J}}_{li}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{F}}_{li}}} = 0$

(24)

由此可得机构的逆动力学公式为

${\boldsymbol{f}} = - {({{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}})^ + }\left({{\boldsymbol{F}}_C} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\boldsymbol{J}}_{li}^{\rm{T}}} {{\boldsymbol{F}}_{li}}\right) + {{\boldsymbol{F}}_0}{\boldsymbol{K}}$

(25)

式中： ${({{\boldsymbol{J}}}^{{\rm{T}}})}^{+}、{{\boldsymbol{F}}}_{0}、{\boldsymbol{K}}$ 分别为 ${{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}$ 的伪逆矩阵、零空间基向量、零空间基向量系数，并且 ${({{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}})^ + } = {\boldsymbol{J}}{({{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{J}})^{ - 1}}$ ， ${{\boldsymbol{F}}_0} = {\boldsymbol{E}} - {({{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}})^ + }{{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}$ ； ${\boldsymbol{E}}$ 为单位矩阵.

4. 仿真算例

4.1 运动学仿真

规划并联机构动平台中心点C的运动轨迹为一个圆轨迹，其运动方程描述为

$\left\{ \begin{gathered} x = 700\sin \left(\frac{\text{π}} {100t}\right) \\ y = 700\cos \left(\frac{\text{π}} {100t}\right) \\ z = 1\;200 \\ \end{gathered} \right.$

(26)

在这种典型工况下，利用理论推导的运动学模型在Matlab中进行逆解算法仿真，根据式（5）得到3根杆长的逆解结果，结果曲线如图2所示. 为了与Matlab的仿真结果进行对比验证，在Adams建立虚拟样机并进行相应的运动仿真，结果如图3所示. 将Adams仿真曲线与Matlab算法导出的曲线对比，可知两者结果在量值上相同且变化趋势完全吻合，从而验证了运动学逆解算法的正确性，曲线过渡平滑，符合机构的几何特性. 根据杆长约束，利用极限空间搜索法得到机器人的工作空间，如图4所示.

图 2 Matlab计算得到的驱动杆长变化曲线

Figure 2. Variation curve of driving rod length calculated by Matlab

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图 3 Adams仿真得到的驱动杆长变化曲线

Figure 3. Variation curve of driving rod length obtained by Adams simulation

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图 4 并联机构工作空间

Figure 4. Workspace of parallel mechanism

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4.2 动力学仿真

以式（26）所示的典型工况建立动力学模型并进行仿真，机构的几何参数和惯性参数见表1.

表 1 几何和惯性参数

Table 1. Geometric and inertial parameters

参数	数值	单位
$a$	625	mm
$b$	250	mm
${m_C}$	85	kg
${m_{li}}(i = 1,2,3)$	132	kg
${{\boldsymbol{I}}_C}$	Diag[36.2,36.2,0.2]	kg· ${{\rm{m}}^2}$
${{\boldsymbol{I}}}_{li}^{’}(i=1,2,3)$	Diag[5.6,5.6,0.077]	kg· ${{\rm{m}}^2}$

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将所有构件当作刚性体运算，运用Matlab进行上述工况的动力学算法仿真，根据式（25）得到驱动力计算结果如图5所示. Adams中仿真得到的驱动力变化曲线如图6所示. 对比Adams和Matlab的驱动力曲线可知，在仿真周期内仿真曲线的变化趋势一致，仿真结果相同，验证了本研究动力学模型的正确性.

图 5 Matlab计算得到的驱动力变化曲线

Figure 5. Variation curve of driving force calculated by Matlab

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图 6 Adams仿真得到的驱动力变化曲线

Figure 6. Variation curve of driving force obtained by Adams simulation

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5. 结　语

1）提出一种2UPR/UPS/UP并联机构，基于机构的运动特性建立闭环矢量方程，进而得到运动学逆解，根据运动学分析，得到3个驱动支链的杆长变化规律和工作空间，方便实现对机构的位姿进行控制.

2）建立工作空间速度与关节空间速度之间的映射关系，从而实现对动平台的速度控制，为动力学的分析奠定基础.

3）利用虚功原理建立驱动力与动平台运动参数之间的动力学方程，并通过Matlab算例仿真和Adams样机模型仿真分别得到驱动力曲线，验证了机构动力学模型的正确性，为驱动方式的选择以及驱动力的分配提供参考依据. 以上分析对2UPR/UPS/UP并联机构的机构优化设计与控制有非常重要的意义，同时研究成果对其他并联机构具有相应的借鉴意义.

图 1 并联机器人坐标系简图

Figure 1. Coordinate system diagram of parallel robot

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图 2 Matlab计算得到的驱动杆长变化曲线

Figure 2. Variation curve of driving rod length calculated by Matlab

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图 3 Adams仿真得到的驱动杆长变化曲线

Figure 3. Variation curve of driving rod length obtained by Adams simulation

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图 4 并联机构工作空间

Figure 4. Workspace of parallel mechanism

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图 5 Matlab计算得到的驱动力变化曲线

Figure 5. Variation curve of driving force calculated by Matlab

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图 6 Adams仿真得到的驱动力变化曲线

Figure 6. Variation curve of driving force obtained by Adams simulation

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表 1 几何和惯性参数

Table 1. Geometric and inertial parameters

参数	数值	单位
$a$	625	mm
$b$	250	mm
${m_C}$	85	kg
${m_{li}}(i = 1,2,3)$	132	kg
${{\boldsymbol{I}}_C}$	Diag[36.2,36.2,0.2]	kg· ${{\rm{m}}^2}$
${{\boldsymbol{I}}}_{li}^{’}(i=1,2,3)$	Diag[5.6,5.6,0.077]	kg· ${{\rm{m}}^2}$

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参考文献(19)

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1. 机构模型描述
2. 运动学分析
2.1 位置分析
2.2 速度与加速度分析
2.3 质心位置的速度与加速度分析
3. 并联机构动力学建模
4. 仿真算例
4.1 运动学仿真
4.2 动力学仿真
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2UPR/UPS/UP并联机构的动力学建模与仿真

doi: 10.12299/jsues.21-0265

作者简介:
陈文波（1996−），男，在读硕士，研究方向为混联机器人与机构学. E-mail:17862517167@163.com

计量

Dynamic modeling and simulation of 2UPR/UPS/UP parallel mechanism

1. 机构模型描述

2. 运动学分析

2.1 位置分析

2.2 速度与加速度分析

2.3 质心位置的速度与加速度分析

3. 并联机构动力学建模

4. 仿真算例

4.1 运动学仿真

4.2 动力学仿真

5. 结　语

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目录

1. 机构模型描述

2. 运动学分析

2.1 位置分析

2.2 速度与加速度分析

2.3 质心位置的速度与加速度分析

3. 并联机构动力学建模

4. 仿真算例

4.1 运动学仿真

4.2 动力学仿真

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2UPR/UPS/UP并联机构的动力学建模与仿真

doi: 10.12299/jsues.21-0265

作者简介: 陈文波（1996−），男，在读硕士，研究方向为混联机器人与机构学. E-mail:17862517167@163.com

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出版历程

Dynamic modeling and simulation of 2UPR/UPS/UP parallel mechanism

1. 机构模型描述

2. 运动学分析

2.1 位置分析

2.2 速度与加速度分析

2.3 质心位置的速度与加速度分析

3. 并联机构动力学建模

4. 仿真算例

4.1 运动学仿真

4.2 动力学仿真

5. 结 语

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出版历程

目录

1. 机构模型描述

2. 运动学分析

2.1 位置分析

2.2 速度与加速度分析

2.3 质心位置的速度与加速度分析

3. 并联机构动力学建模

4. 仿真算例

4.1 运动学仿真

4.2 动力学仿真

5. 结 语

作者简介:
陈文波（1996−），男，在读硕士，研究方向为混联机器人与机构学. E-mail:17862517167@163.com

5. 结　语

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